I Komplexe Zahlen Teil 2

I Komplexe Zahlen
Teil 2
Dr. Laura Keller
5. März 2016
5 Die Eulersche Formel
Wir kennen die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion für
reelle Argumente
∞
ex = 1 + x +
X 1
x2 x3
+
+ ··· =
xk
2
3!
k!
k=0
Setzen wir in dieser Formel x = tj ein, so erhalten wir die
Eulersche Formel
etj = cos(t) + j sin(t),
t∈R
Folgerung
Wir können sin(t) und cos(t) mit Hilfe von komplexen
Exponentialfunktionen schreiben
cos(t) =
etj + e−tj
2
sin(t) =
etj − e−tj
2j
und
Exponentialfunktion mit komplexen Argumenten
Wir können für die Exponentialfunktion auch komplexe Argumente
zulassen.
Dann gelten die folgenden Regeln
ez = ea+bj = ea (cos(b) + sin(b)j)
ez+w = ez · ew
und
ez+2πj = ez
6 Polardarstellung
Erinnerung:
(x, y ) = (cos(ϕ), sin(ϕ))
gibt uns eine Parametrisierung des Einheitskreises.
Neu können wir diese Tatsache mit Hilfe der Eulerschen Formel
ausdrücken:
z = eϕj
ist eine Parametrisierung des Einheitskreises.
Das Argument ϕ heisst Polarwinkel.
Anwendung
Analog zur Beschreibung eines Punktes in der Ebene durch
Polarkoordinaten kann eine komplexe Zahl durch Angabe des
Abstandes zum Ursprung und durch Angabe eines geeigneten
Winkels beschrieben werden (Polarform):
z = r · eϕj
Dabei gilt
I
|z| = r ≥ 0
I
ϕ ∈ (−π, π] Polarwinkel
Und wir schreiben ϕ = arg (z) = arc(z)
Umrechnung zwischen Polar- und Normalform
Polar- in Normalform
z = r eϕj
z = x + yj
Normal- in Polarform
z = x + yj
z = r eϕj
x = r cos(ϕ)
y = r sin(ϕ)
p
r = |z| = x 2 + y 2
ϕ = arctan( yx ) falls x > 0
ϕ = arctan( yx ) + π falls x < 0 und y ≥ 0
ϕ = arctan( yx ) − π falls x < 0 und y < 0
Achtung : Bei der Umrechnung von Normal- in Polarform ist der
Fall x = y = 0 ausgeschossen.
Falls x = 0 und y 6= 0 verwenden wir die Konvention
π/2, y > 0
arg (yj) =
−π/2, y < 0
7 Potenzen komplexer Zahlen
Es sind die folgenden Regeln zu beachten:
i)
z1 · z2 = r1 eϕ1 j · r2 eϕ2 j = r1 · r2 e(ϕ1 +ϕ2 )j
ii)
z1 /z2 = r1 eϕ1 j /r2 eϕ2 j =
iii)
z n = r n enϕj
r1 (ϕ1 −ϕ2 )j
e
r2
Zusammenfassung
I
Was ist die Eulersche Formel und wo braucht man sie?
I
Was ist die Polarform?
Wie rechnet man von der Polarform in die Normalform um
und umgekehrt?
→ Aufgaben 2.2, 2.4 und 2.6
I
Welche Regeln gelten, wenn man mit komplexen Zahlen in
Polarform rechnet?
→ Aufgaben 2.9 und 2.13
I
Geometrische Veranschaulichungen
→ Aufgaben 2.5 und 2.12