Die Haushalte 1 und 2 können ihre jeweiligen Einkommen

Aufgabe 1
(35 Punkte)
Die Haushalte 1 und 2 können ihre jeweiligen Einkommen y1 = y2 = 36 für privaten Konsum
x1 bzw. x2 und für ein öffentliches Gut G verwenden. Die Nutzenfunktionen
2
1
u1 (x1 , G) = x13 · G 3
bzw. u2 (x2 , G; a) = x21−a · Ga ,
0<a<1
bilden die Präferenzen der Haushalte ab. Der Preis für eine Einheit x ist px = 1 und der
Preis für eine Einheit G ist c = 1.
(a) Erläutern Sie kurz die Eigenschaften eines öffentlichen Gutes anhand eines Beispiels.
b an und erläutern
(b) Geben Sie die notwendige Bedingung für eine Pareto-effiziente Menge G
Sie diese Bedingung kurz.
(c) Der Staat will das öffentliche Gut durch den Lindahl-Mechanismus bereitstellen. Gehen Sie davon aus, dass der Staat die jeweiligen wahren Zahlungsbereitschaften der
Haushalte 1 und 2 kennt.
– Berechnen Sie die individuellen Preise der beiden Haushalte c1 = c1 (G) und c2 =
c2 (G; a), zu denen sie die Menge G nachfragen.
– Berechnen Sie die Menge des öffentlichen Gutes GL im Lindahl-Gleichgewicht in
Abhängigkeit von a.
– Berechnen Sie die jeweiligen Ausgaben der beiden Haushalte für GL .
Der Staat stellt das öffentliche Gut weiterhin durch den Lindahl-Mechanismus bereit. Dem
Staat sind die Zahlungsbereitschaften der Haushalte jedoch nicht bekannt und deshalb will er
die Zahlungsbereitschaften durch eine Befragung der Haushalte ermitteln. Haushalt 1 äußert
für jede Menge G seine wahre Zahlungsbereitschaft. Die wahre Nutzenfunktion von Haushalt
2 ist nun durch a = 21 gegeben:
1
1
u2 (x2 , G) = x22 · G 2 .
Haushalt 2 kann jedoch lügen und behaupten, dass seine Präferenzen durch einen anderen
Wert a (0 < a < 1) gegeben sind. Nehmen Sie an, dass Haushalt 2 die Zahlungsbereitschaft
von Haushalt 1 und das Verhalten des Staates kennt.
(d) Welchen Wert für a gibt Haushalt 2 an, um seine Zahlungsbereitschaft darzustellen?
Erläutern Sie Ihr Ergebnis.
1
Aufgabe 2
(25 Punkte)
Auf einem Partialmarkt lautet die Nachfragefunktion für das Gut x
D(q) = 25 − 2 · q.
Die Produzenten bieten das Gut x entsprechend ihrer Angebotsfunktion
S(p) = 0, 5 · p
an. Der Nettopreis ist p, der Bruttopreis lautet q. Der Staat kann eine Mengensteuer t auf
das Gut x erheben. Es gilt q = p + t.
(a) Berechnen Sie die Gleichgewichtsmenge x∗ (t = 0) und den Gleichgewichtspreis p∗ (t = 0)
ohne Mengensteuer.
(b) Der Staat entschließt sich eine Mengensteuer in Höhe von t = 5 zu erheben. Wie groß ist
die neue Gleichgewichtsmenge x∗ (t = 5)? Wie lauten der neue Nettopreis p∗ (t = 5) und
der neue Bruttopreis q ∗ (t = 5)? Wie hoch ist der Wohlfahrtsverlust nach dem Konzept
der Konsumenten- und Produzentenrente, der durch die Steuereinführung ausgelöst
wird? Markieren Sie den Wohlfahrtsverlust in einer geeigneten Grafik.
Die Bevölkerung protestiert gegen die Steuer. Deshalb trifft ein Politiker folgende Aussage:
“Bei bei der Produktion des Gutes x entsteht ein in Geldeinheiten gemessener Umweltschaden
in Höhe von ∆(x) = a · x2 . Die Mengensteuer t = 5 führt deshalb genau dazu, dass in diesem
Partialmarkt die effiziente, wohlfahrtsmaximierende Menge gehandelt wird!”
(c) Für welchen Wert a stimmt die Aussage des Politikers?
2
Aufgabe 3
(30 Punkte)
Betrachten Sie drei Regionen h = 1, 2, 3, deren Einwohnerzahl jeweils auf 1 normiert ist. Die
Nutzenfunktionen der Einwohner der Regionen h = 1, 2, 3 lauten:
√
u1 (x1 , G) = 4 G + x1
1√
u2 (x2 , G) =
G + x2
2√
u3 (x3 , G) = 2 G · x3
Das Einkommen in jeder Region ist y1 = y2 = y3 = 27. Die Preise des privaten Konsums xh
und des öffentlichen Gutes G sind mit px = pG = 1 gegeben. Finanziert wird das öffentliche
Gut G zu 21 von Region 1 und zu jeweils 41 von Region 2 und 3.
(a) Bestimmen Sie die Mengen Gh , die von den Regionen jeweils präferiert werden.
(b) Welche Menge Gm setzt sich bei Mehrheitswahl durch? Warum hat eine Einkommenserhöhung von Region 1 und 2 keinen Einfluss auf die Menge Gm ? Für welche Werte
des Einkommens y3 ist Region 3 der Medianwähler?
In der Folge ist die Nutzenfunktion der Region 3 gegeben durch:
√
u3 (x3 , G) = 2 G + x3 .
Das öffentliche Gut wird jetzt von den Regionen gemäß deren Anteil an der Gesamtbevölkerung
finanziert. Die um die Wählerschaft konkurrierenden Parteien A und B machen die Vorschläge
GA und GB bezüglich der Bereitstellung von G. Das Wahlverhalten in den einzelnen Regionen
ist durch die folgenden Verteilungsfunktionen Φh (x) gegeben. Φh (x) gibt dabei den Anteil
der Wähler von Partei A in der Region h an und x den aus den Vorschlägen GA und GB
entstehenden Nutzenunterschied:
Φ1 (x) = 0, 02 · x + 0, 4
x ∈ [−12; 12]
363 363
;
x∈ −
16 16
Φ2 (x) = 0, 08 · x + 0, 3
√
Φ3 (x) = 0, 03 + 0, 16 x + 16
x ∈ [−12; 12]
(c) Berechnen Sie die Menge GS , die im politischen Gleichgewicht bereitgestellt wird. Welche Partei gewinnt die Wahl? Wäre ein Übergang zum Mehrheitswahlrecht für die
Partei A vorteilhaft?
Hinweis: Benutzen Sie folgende Formel:
H φ1 (0)
φ2 (0)
φ3 (0)
β1 +
β2 +
β3 b0 (GS ) = 1
3
φ
φ
φ
(φ1 (0) + φ2 (0) + φ3 (0))
mit φ =
3
3
Lösungshinweise
(keine Musterlösung)
Aufgabe 1
(a,b) s. Vorlesungsunterlagen
(c)
– c1 (G) = 12/G und c2 (G; a) = 36a/G
– GL = 12 + 36a
– Haushalt 1: 12, Haushalt 2: 36a
(d) Konsum im Lindahl-GG in u2 , u2 über a maximieren: a = 1/3
Aufgabe 2
(a) x∗ (t = 0) = 5 und p∗ (t = 0) = 10
(b) p∗ (t = 5) = 6, p∗ (t = 5) = 11 und x∗ (t = 5) = 3. Wohlfahrtsverlust: W − = 5.
Grafik: Siehe z.B. Übungsunterlagen Aufgabe 9b.
(c) Die Aussage des Politkers stimmt, wenn für die gehandelte Menge aus (b) (x∗ (t =
5) = 3) gilt: Grenzumweltschaden + private Grenzkosten= Preis. Dies ist der Fall,
wenn der Grenzumweltschaden für diese gehandelte Menge gleich der Mengensteuer
pro Einheit ist. Also wenn gilt: t = ∆0 (x∗ (t = 5) = 3), also für 5 = 2 · a · 3 ⇒ a = 56 .
Die Aussage des Poltikers stimmt folglich für a = 56 .
Aufgabe 3
(a) G1 = 16
G2 = 1
G3 = 36
(b) G1 = Gm = 16
3
4
< y3 < 12
(c) φ1 = 0, 02
φ2 = 0, 08
φ3 = 0, 02
φ̄ = 0, 04
Gs = 4
πa =
1,37
3
B,B,A
1