Die Ihnen vorliegende Klausur besteht aus Unterschreiben Sie die

Prof. Dr. E. Mammen
Prof. Dr. H. Stenger
SEMINAR FÜR STATISTIK
UNIVERSITÄT MANNHEIM
1 Von den Ereignissen U und V eines Zufallsexperiments kennt man die
Eigenschaften (1) bis (3) :
Vierstündige Klausur in statistischer Methodenlehre
29. Juli 2003; 8:30 - 12:30

(1) W(U) + W(V) = 1,4 ;
(2) W( U ‰ V ) = 1 ;
(3) W(U) ˜ W(V) = 0,48.
Zulässige Hilfsmittel: keine, insbesondere keine Taschenrechner und PDAs.
Die Ihnen vorliegende Klausur besteht aus
-
Welche der folgenden Aussagen über die Ereignisse U und V ist richtig?
diesem Deckblatt,
32 Aufgaben,
der Formelsammlung mit Tabellen,
5 Blatt Konzeptpapier
der Lösungsliste.
A:
B:
C:
D:
E:
Reißen Sie das letzte Blatt - die Lösungsliste - ab und tragen Sie (zum Zweck der
Klausurauswertung) die erbetenen Angaben ein. Überprüfen Sie, ob die persönlichen
Angaben auf der Lösungsliste korrekt sind.
Die Klausur enthält 32 Aufgaben, davon
Aufgaben Nr. 1 - 12 zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgaben Nr. 13 - 24 zur Induktiven Statistik
Aufgaben Nr. 25 - 32 zur Deskriptiven Statistik
Überprüfen Sie, ob Ihr Klausurexemplar vollständig ist.
Beachten Sie, dass bei den Aufgaben mehr als eine Alternative richtig sein kann. Eine
Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn alle richtigen Alternativen, und nur diese, in die
Lösungsliste eingetragen sind. Ist keine der angegebenen Alternativen richtig, dann tragen
Sie in die Lösungsliste eine „0“ oder das Zeichen „‡ “ ein. (Aus der Formulierung der
Frage ist nicht abzuleiten, daß keine, eine oder mehrere Alternativen richtig sind!).
Unterschreiben Sie die ausgefüllte Lösungsliste. (Nicht unterschriebene
Lösungslisten sind ungültig!)
Geben Sie nur die Lösungsliste ab! (Für die Bewertung ist nur die
abgegebene Lösungsliste ausschlaggebend.)
Die Klausur ist bestanden, wenn Sie in der Lösungsliste bei mindestens 11 Aufgaben die
richtige Lösung angegeben haben.
2
W( U ˆ V ) = 0,4
W( U ˆ V ) = 0
U und V sind unvereinbare Ereignisse.
U und V sind abhängige Ereignisse.
U und V bilden eine Zerlegung der Ergebnismenge.
In einer Stadt erscheinen zwei Zeitungen.
Von den Haushalten der Stadt abonnieren
x 80% mindestens eine Zeitung.
x 55% genau eine Zeitung.
Ein Haushalt wird zufällig ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er keine Zeitung abonniert?
A: 5%
B: 10% C: 15% D: 20% E: 25% F: 30%
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er beide Zeitungen abonniert?
G: 5%
H: 10% I: 15% K: 20% L: 25% M: 30%
3 In einem Gremium mit 64 Mitgliedern gilt ein Antrag als angenommen,
wenn höchstens 16 aller Mitglieder gegen den Antrag stimmen.
Bei einer konkreten Abstimmung rechnet man damit, dass die Mitglieder
jeweils mit Wahrscheinlichkeit 20% gegen den Antrag stimmen werden.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit für Annahme des Antrages?
A: 0,7734
E: 0,9599
I: 0,9970
B: 0,8413
F: 0,9772
K: 0,9987
C: 0,8944
G: 0,9878
D: 0,9332
H: 0,9938
4
7
Eine Impfung hat mit Wahrscheinlichkeit
0,88 keine
0,10 eine leichte
0,02 eine schwere
Komplikation zur Folge.
x
W( X = x )
Zwei Personen sollen geimpft werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine der beiden Personen
eine leichte Komplikation, die andere eine schwere Komplikation erleidet?
A: 0,0008
E: 0,0024
I: 0,0600
B: 0,0012
F: 0,0032
K: 0,0800
Die Zufallsvariable X besitze folgende Wahrscheinlichkeitstabelle:
C: 0,0016
G: 0,0036
L: 0,1000
1
1/2
2
1/4
4
1/4
Welchen Wert besitzt E(1/X) ?
A: 1/4
G: 4/9
N: 2
D: 0,0020
H: 0,0040
M: 0,1200
B: 1/3
H: 1/2
P: 12/5
C: 5/13
I: 9/16
R: 5/2
D: 2/5
K: 3/5
S: 7/2
E: 5/12
L: 2/3
F: 7/16
M: 11/16
8 Die beiden Zufallsvariablen X und Y besitzen die nachstehende
gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle:
5
Für eine normalverteilte Zufallsvariable sei EX = P und
var X = V2 > 0 mit P = 2,1 V .
Welchen Wert besitzt W ( X < 0 )?
A: 0,0082
E: 0,9821
B: 0,0107
F: 0,9861
xi
C: 0,0139
G: 0,9983
D: 0,0179
H: 0,9918
1
0
+1
1
0
0
0,2
yj
0
0
0,6
0
+1
0,2
0
0
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
6
Die Kuhherde eines Großbauern besteht aus 100 Milchkühen der
gleichen Rasse. Die täglichen Milchmengen der einzelnen Kühe sind
unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit
Erwartungswert 13 kg und
Standardabweichung 1 kg.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit übersteigt die tägliche Milchmenge der Herde
den Wert 1330 kg?
A: 0,0013
E: 0,9332
B: 0,0062
F: 0,9772
C: 0,0228
G: 0,9938
D: 0,0668
H: 0,9987
A:
B:
C:
D:
E:
F:
G:
H:
X und Y sind identisch verteilt.
X und Y sind unabhängige Zufallsvariablen.
W(X+Y=0)=1
E(X+Y) = 0
E(XxY) = 0
var ( X + Y ) = 0
var ( X + Y ) = 0,8
var ( X + Y ) = 1,6
9 Der Tagespreis P für einen bestimmten Artikel ist eine Zufallsvariable
mit Erwartungswert PP = 25 und Standardabweichung VP = 5.
Die Tagespreise verschiedener Tage sind unabhängige Zufallsvariablen.
Kunde 1 möchte an einem Tag 4 Stück von diesem Artikel kaufen.
Wie groß ist der Erwartungswert der Ausgaben des Kunden 1 ?
A: 100
B: 120
C: 180
D: 225
Wie groß ist die Standardabweichung der Ausgaben des Kunden 1 ?
E: 10
F: 12
G: 15
H: 20
I: 24
K: 36
L: 45
11 Von den 16 Tankstellen einer Stadt sollen an einem Stichtag 6
Tankstellen durch Ziehen ohne Zurücklegen ausgewählt und nach den
jeweiligen Dieselpreisen pro Liter befragt werden. Aus den ermittelten
Dieselpreisen soll dann das Stichprobenmittel bestimmt werden.
Alternativ dazu wird überlegt, die Auswahl durch Ziehen mit Zurücklegen
vorzunehmen und zwar so, dass dabei die Varianz des Stichprobenmittels
den gleichen Wert besitzt wie beim Ziehen ohne Zurücklegen.
Welcher Stichprobenumfang wäre dann für das Ziehen mit Zurücklegen
vorzugeben?
A: 5
E: 9
B: 6
F: 10
C: 7
G: 11
D: 8
H: 12
Kunde 2 möchte an 4 verschiedenen Tagen je 1 Stück von diesem
Artikel kaufen.
Wie groß ist der Erwartungswert der Ausgaben des Kunden 2 ?
M: 100
N: 120
P: 180
R: 225
Wie groß ist die Standardabweichung der Ausgaben des Kunden 2 ?
S: 10
T: 12
U: 15
V: 20
W: 24
X: 36
Y: 45
10 Die Lostrommel bei einer Tombola enthält 10 Lose, die von 1 bis 10
nummeriert sind. Los Nr. 1 ist ein Gewinnlos, alle anderen Lose sind Nieten.
Der erste Teilnehmer an der Tombola entnimmt 2 Lose. Dabei bezeichne
die Zufallsvariable X2 die „Anzahl der Gewinnlose bei der 2. Ziehung“.
Welche der folgenden Mengen A bis G ist eine Darstellung des Ereignisses
{ X2 = 1 } ?
A:
B:
C:
D:
E:
F:
G:
{1}
{0;1}
{(0;1)}
{(1;1)}
{(0;1),(1;1)}
{ ( 1 ; 1 ) , ( 2 ; 1 ) , ... , ( 10 ; 1 ) }
{ ( 2 ; 1 ) , ( 3 ; 1 ) , ... , ( 10 ; 1) }
12
Beim Abfüllen einer Ware ist das in Gramm gemessene Füllgewicht F
normalverteilt mit Erwartungswert PF und Standardabweichung VF .
Das Verpackungsgewicht V ist normalverteilt mit
Erwartungswert PV = 70 g und Standardabweichung VV = 7 g .
Verpackungsgewicht und Füllgewicht sind unabhängige Zufallsvariablen.
Für das Gesamtgewicht G = F + V gilt: Erwartungswert PG = 1118 g und
Standardabweichung VG = 25 g.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit unterschreitet das Füllgewicht 1000 g?
A: 0,0062
E: 0,0668
I: 0,3085
B: 0,0122
F: 0,1056
K: 0,4013
C: 0,0228
G: 0,1587
L: 0,5987
D: 0,0401
H: 0,2266
M: 0,6915
13
Eine Zufallsvariable X hat den Erwartungswert 0. Mit Hilfe einer
Stichprobe (X1,X2,X3) aus der Verteilung von X soll die unbekannte Varianz
von X geschätzt werden. X bezeichne das Stichprobenmittel.
Welche der folgenden Schätzfunktionen für die Varianz von X ist
erwartungstreu?
1
A: X12
E: ( X12 X 22 X32 )
2
1 2
B: X1 ˜ X 2
F: ( X1 X 22 X32 )
3
1 3
2
2
C: X1 X 2
G: ¦ ( Xi X)2
2i 1
1
1 3
D: ( X12 X 22 )
H: ¦ ( Xi X)2
2
3i 1
14 X sei normalverteilt mit Erwartungswert P. Mit Hilfe einer Stichprobe aus
der Verteilung von X soll zum Sicherheitsgrad 0,95 ein Konfidenzintervall
für P berechnet werden. Die Stichprobe vom Umfang 4 ergab die Werte:
21; 29; 21; 33.
In welcher der folgenden Alternativen ist das Konfidenzintervall richtig
angegeben?
16 Bei der Produktion von Festplatten für Computer entsteht mit
Wahrscheinlichkeit T eine fehlerhafte. Die Festplatten werden unabhängig
voneinander in Serien des Umfangs n produziert. Für eine Serie nehme die
Zufallsvariable Xi , i=1,...,n, den Wert 1 an, falls die i-te produzierte Festplatte
1 n
der Serie fehlerhaft ist, ansonsten den Wert 0. T soll durch X
¦ X
ni 1 i
geschätzt werden.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig ?
A:
CX ist eine unverzerrte Schätzfunktion für T .
B:
CX ist eine lineare Schätzfunktion für T .
C:
CX ist die beste lineare Schätzfunktion für T .
D:
CX ist die beste unverzerrte Schätzfunktion für T .
E:
varCX = T(1-T).
F:
varCX = T(1-T)/n.
G:
varCX = nT(1-T).
A: >6,908 ; 45,092@
I: >14,882 ; 43,118@
S: >19,454 ; 38,546@
B: >7,908 ; 46,092@
J: >15,240 ; 38,760@
T: >19,941 ; 34,059@
17 In der DIN-Mineralölnorm ist gefordert, dass die durchschnittliche
Oktanzahl P von Superbenzin mindestens 96 Oktan beträgt. Um einer
Tankstellenkette eine Verletzung dieser Vorschrift nachzuweisen, führt eine
Verbraucherorganisation an Hand von 100 zufällig und unabhängig
voneinander entnommenen Superbenzinproben den Parametertest der
Nullhypothese
Ho: P t 96 zum Signifikanzniveau 0,05 durch.
C: >8,908 ; 47,092@
K: >16,240 ; 39,760@
U: >20,120 ; 31,880@
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
D: >9,908 ; 48,092@
L: >16,454 ; 35,546@
V: >20,941 ; 35,059@
E: >11,882 ; 40,118@
M: >17,240 ; 40,760@
W: >21,120 ; 32,880@
F: >12,882 ; 41,118@
N: >17,454 ; 36,546@
X: >21,941 ; 36,059@
G: >13,882 ; 42,118@
P: >18,454 ; 37,546@
Y: >22,120 ; 33,880@
H: >14,240 ; 37,760@
R: >18,941 ; 33,059@
Z: >23,120 ; 34,880@
15
Für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert P und Varianz 144 prüft
man H0: P t 100 mit Hilfe einer Stichprobe vom Umfang 64. H0 wird
abgelehnt, wenn das Stichprobenmittel kleiner ist als 97,6.
Wie groß ist das Signifikanzniveau des Tests?
A: 0,0082
D: 0,0228
G: 0,0359
B: 0,0139
E: 0,0250
H: 0,0456
C: 0,0164
F: 0,0278
I: 0,0500
K: 0,0548
L: 0,0718
M: 0,1096
Angenommen, das Superbenzin der Tankstellenkette hat im Durchschnitt
96,3 Oktan und der Test führt zur Entscheidung: “Ho wird nicht abgelehnt“.
Dann ist das
A: ein Fehler 1. Art. B: ein Fehler 2. Art. C: eine korrekte Entscheidung.
Angenommen, das Superbenzin der Tankstellenkette hat im Durchschnitt
95,8 Oktan und der Test führt zur Entscheidung: “H0 wird nicht abgelehnt“.
Dann ist das
D: ein Fehler 1. Art. E: ein Fehler 2. Art. F: eine korrekte Entscheidung.
18 Für den Anteil der Haushalte, die ein Fernsehgerät besitzen, ergab eine
Stichprobe vom Umfang n zum Sicherheitsgrad 0,9544 das Konfidenzintervall
[0,7 ; 0,9].
Wie groß war n ?
A: 2
B: 4
C: 8
D: 12
E: 16
F: 36
G: 64
H: 84
I: 96
K: 100
L: 144
M: 225
19 Ein Automobilhersteller bezieht von einem Zulieferer täglich eine Lieferung von 2.000 Batterien. T bezeichne den Anteil fehlerhafter Batterien in
einer Lieferung. Für jede Lieferung überprüft der Automobilhersteller mit Hilfe
einer Stichprobe von Umfang 100 zum Signifikanzniveau 0,0082 die
Nullhypothese H0: T d 0,1. Wenn H0 abgelehnt wird, schickt der
Automobilhersteller die Lieferung an den Zulieferer zurück.
Für 7 Lieferungen A,B,C,D,E,F,G hat man folgende Ergebnisse:
Lieferung
Anzahl fehlerhafter Batterien in der Stichprobe
A
20
B
17
C
15
D
16
E
19
F
18
G
14
Welche dieser Lieferungen werden an den Zulieferer zurück geschickt?
20
Man vermutet, dass sich der Anteil der Wahlberechtigten in
Deutschland, welche im Juli 2003 Partei A wählen würden, gegenüber Januar
2003 verändert hat. Auf Stichprobenbasis soll untersucht werden, ob der
geeignete Test diese Vermutung beim Signifikanzniveau 3% bestätigt.
Im Januar 2003 gaben 10 von 100 zufällig ausgewählten Wahlberechtigten
an, sie würden Partei A wählen. Unabhängig davon wurden im Juli 2003
wieder 100 Wahlberechtigte zufällig ausgewählt; von ihnen wollten 20 Partei
A wählen.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Der Absolutwert der normierten Prüfgröße des geeigneten Tests beträgt
A: 0,5
B: 1,0
C: 1,5
D: 2,0
E: 2,5
21 In einer Jobbörse bieten sechs verschiedene Firmen vergleichbare
Stellen für BWL-AbsolventInnen an. Durch einen Test zum Signifikanz-niveau
5% soll nachgewiesen werden, dass das Interesse der BWL-AbsolventInnen
für die einzelnen Firmen unterschiedlich ist. Die Auswertung von 600 zufällig
ausgewählten Bewerbungen ergab:
Firma
Anzahl der Bewerbungen
1
105
2
95
3
120
4
80
5
115
6
85
Die Prüfgröße des durchzuführenden Tests besitzt den Wert
A:
10
B:
11
C:
12
D:
13
E:
14
F:
15
Der Ablehnungsbereich für die Prüfgröße ist (D = 5%)
G: (9,236; f)
H:
(10,645; f)
I:
(11,070; f)
K:
(12,592; f)
L:
(13,388; f)
M: (15,033; f)
Die Behauptung, das Interesse der BWL-AbsolventInnen für die einzelnen
Firmen sei unterschiedlich, ist durch den Test (D = 5%)
N:
widerlegt
P:
bestätigt
R:
nicht bestätigt
22
Gegeben sei das einfache lineare Regressionsmodell
Yi = E0 + E1xi + Ui, i = 1,2.
Die Testentscheidung lautet (zum Signifikanzniveau 3%):
Die Anteile der Wahlberechtigten in Deutschland (in der Grundgesamtheit),
welche im Juli bzw. Januar 2003 Partei A wählen würden, sind
F: verschieden.
G: gleich.
Dabei seien die Störgrößen Ui unabhängig identisch verteilt mit E Ui = 0 und
var Ui = V2 > 0. Für die beiden Beobachtungspaare (x1, y1) und (x2, y2)
gelte: x1 < x2, y1 < y2. Die geschätzte Regressionsgerade sei
y = b0 + b1x.
Die Anteile der Wahlberechtigten in Deutschland (in der Grundgesamtheit),
welche im Juli bzw. Januar 2003 Partei A wählen würden, sind
H: signifikant verschieden.
I: nicht signifikant verschieden.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Stichprobenanteile der Wahlberechtigten, welche im Juli bzw. Januar
2003 Partei A wählen würden, sind
K: signifikant verschieden.
L: nicht signifikant verschieden.
A:
D:
G:
b1 = 0
y1 = b0 + b1x1
y2 = b0 + b1x2
B:
E:
H:
b1 < 0
y1 < b0 + b1x1
y2 < b0 + b1x2
C:
F:
I:
b1 > 0
y1 > b0 + b1x1
y2 > b0 + b1x2
23
Für ein Unternehmen, das aus den Betrieben A und B besteht, soll die
Vermutung
geprüft
werden,
dass
Betriebszugehörigkeit
und
Arbeitsplatzzufriedenheit unabhängig sind. Die Befragung von 200 zufällig
ausgewählten Mitarbeitern ergab:
Betrieb
A
B
Gesamt
Zufriedene
80
40
120
nicht Zufriedene
20
60
80
Gesamt
100
100
200
Die Prüfgröße des durchzuführenden Tests besitzt den Wert
A:
10/3
B:
20/3
C:
40/3
D:
60/3
E:
80/3
F:
100/3
Der Ablehnungsbereich für die Prüfgröße ist (D = 2%)
G: (5,412; f)
H:
(6,635; f)
I:
(7,824; f)
K:
(9,210; f)
L:
(11,668; f)
M: (13,277; f)
Die Vermutung, dass Unabhängigkeit zwischen der Betriebszugehörig-keit
und Arbeitsplatzzufriedenheit besteht, ist durch den Test (D=2%)
N:
widerlegt
P:
bestätigt
R:
nicht bestätigt
24
Zur Untersuchung des Zusammenhangs zwischen der Anzahl der
MitarbeiterInnen (x) und den Ausgaben für Fortbildung (Y [in Tausend Euro])
in Betrieben unterstellt man das einfache lineare Regressions-modell Yi = E0 +
E1xi + Ui. Für 20 zufällig ausgewählte Betriebe erhält man:
x = 150
6 (xi - x )2 = 12.500
y = 200
6 (yi - y )2 = 50.000
6 (xi - x ) (yi - y ) = 16.250
Die geschätzte Regressionsgerade sei y = b0 + b1x.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
A:
D:
G:
K:
b0 = 1,3
b0 = 5
b1 = 1,3
b1 = 5
B:
E:
H:
L:
b0 = 1,4
b0 = 10
b1 = 1,4
b1 = 10
C:
F:
I:
M:
b0 = 1,5
b0 = 15
b1 = 1,5
b1 = 15
LÖSUNGSLISTE
Zum wievielten Male nehmen Sie an der Statistik-Klausur teil?
1. Versuch
Aufgabe
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Lösung
ABD
DL
B
H
D
A
M
ACDF
AHMS
G
E
C
ADFG
L
K
ABF
CE
G
AEF
DL
Mannheim, 29.7.03
2. Versuch
bitte frei
lassen
Aufgabe
Nr.
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
3. Versuch
Lösung
DIP
CDG
FGN
DG
I
A
A
I
G
ACDE
CDI
I
bitte frei
lassen