HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Wirtschaftsmathematik II Prof

HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. M. Voigt
Wirtschaftsmathematik II
Differentialrechnung
Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben
Übungsserie 6:
Analyse von Funktionen
1. Analysieren Sie die folgenden Funktionen (Definitionsbereich, Wertebereich,
Nullstellen, Monotoniebereiche, Extremalpunkte, Konvexität, Konkavität,
Wendepunkte, Polstellen, Sprungstellen, Asymptoten, Grenzwerte):
x2 − 5x + 4
(a) y = f (x) = x4 + 54 x2 + 14
(d) y = f (x) =
x−5
3
2
(b) y = f (x) = x (x−1)(x−2)
x3
(e)
y
=
f
(x)
=
x
(x − 1)2
(c) y = f (x) = 2
x +1
2. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt (Punkt minimaler oder maximaler Krümmung)
der Kurve der Funktion F (x, y) = x2 y − 8 = 0 im Bereich x > 0 ! Wie groß ist der
Radius des zugehörigen Krümmungskreises?
3. Es seien die Gesamtkostenfunktion K(x) und die Preis-Absatz-Funktion p(x) gegeben:
K(x) = x3 − 12x2 + 60x + 98, x ≥ 0
p(x) = 100 − 5x, 0 ≤ x ≤ 20
x Output = Absatz in ME, p Preis in GE/ME.
(a) Bilden Sie die Funktionen für den Erlös E(x) und den Gewinn G(x).
(b) Versuchen Sie, die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion K(x), E(x) und G(x)
für 0 < x < 10 zu skizzieren.
(c) Ermitteln Sie das Betriebsoptimum und das Betriebsminimum! Wie hoch sind
die kurz- und die langfristigen unteren Schranken für den Preis, zu dem das
Produkt verkauft werden kann?
(d) Ermitteln Sie die obere und die untere Gewinnschwelle des Outputs x (Nutzensgrenzen).
Hinweis: Für die Gewinnschwellen x1 , x2 gilt: G(x) ≥ 0 ∀x ∈ [x1 , x2 ].
4. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion
K(x) = 0, 08x3 − 2x2 + 50x + 300,
x ≥ 0,
wobei der Output x in MEx und die Kosten K in GE angegeben sind.
(a) Wie lautet die Grenzkostenfunktion (Marginalfunktion) und welchen Wert hat
sie an der Stelle x0 = 25? Was bedeutet dieser Wert?
(b) Geben Sie die Funktionen für die variablen Kosten, für die Stückkosten (Durchschnittskosten) und für die variablen Stückkosten (durchschnittliche variable
Kosten) an!
(c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum (das Minimum der variablen Stückkosten)! Was bedeutet dieser Wert für das Unternehmen und bei welchem Output
wird er erreicht?
5. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion [Kosten in e ]
K(x) = 2 x3 − 30 x2 + 178 x + 6 000,
x≥0
und kann in Abhängigkeit vom Preis p [in e ] die in der Preis-Absatz-Funktion
angegebene Menge in MEx absetzen.
x(p) = 10 000 −
25 · p
2
(a) Bestimmen Sie den erzielbaren Preis p als Funktion des Absatzes x sowie
die ökonomischen Definitionsbereiche dieser Preis-Absatz-Funktion und der
Absatz-Preis-Funktion!
(b) Bestimmen Sie die Erlösfunktion, die Gewinnfunktion und die stückbezogene
Gewinnfunktion (Gewinn je MEx )!
(c) Bestimmen Sie das Betriebsminimum, d.h. das Minimum der stückbezogenen
variablen Kosten! Was gibt dieser Wert an und bei welchem Output wird er
erreicht?
(d) Bei welchem Preis erzielt das Unternehmen den maximalen Umsatz (max.
Erlös) und wie groß ist dieser?
6. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion
K(x) = x3 − 12x2 + 60x + 98 ,
die Preis-Absatz-Funktion laute p(x) = 120 − 10x , 0 ≤ x ≤ 12.
(a) Skizzieren Sie die Kosten-, die Erlös- und die Gewinnfunktion!
(b) Ermitteln Sie den Output, bei dem der Gewinn maximal wird, sowie die zugehörigen Werte für den Preis, Erlös, Gewinn und die Kosten!
(c) Auf jede ME des Outputs werde eine Mengensteuer in Höhe von
24GE/ME erhoben. Man ermittle für diesen Fall den gewinnmaximalen Output, den sich dort nach Steuern ergebenden Gewinn sowie die Höhe der abzuführenden Steuer!
(d) Die Mengensteuer betrage t GE/ME. Bestimmen Sie den Output x(t) im Gewinnmaximum sowie die Steuereinnahmen T (t) des Staates als Funktionen von
t! Bis zu welcher maximalen Mengensteuer kann das Unternehmen noch produzieren, ohne Verlust zu machen?
(e) Anstatt der Mengensteuer werde vom Staat eine Gewinnsteuer in Höhe von
40% des Gewinns erhoben, (s = 0, 4). Wie groß sind der gewinnmaximale
Output, die abzuführenden Steuern und der verbleibende Gewinn in diesem
Fall? Welchen Einfluß hat der Gewinnsteuersatz s auf den gewinnmaximalen
Output?
Lösungen
1.
(a) xmin = 0, ymin = 14 ,
f konvex auf R, monoton fallend für x ≤ 0, monoton steigend für x ≥ 0;
(1)
(1)
(2)
(2)
128
(b) xmin = 23 , ymin = − 729
= −0.175583..., und xmin = 2, ymin = 0
3
27
xmax = 2 , ymax = 64 = 0.421875...,
Wendepunkte bei (0, 0) (Horizontal-WP); sowie bei
(0.3897, −0.09366); (1.1351, 0.1478); (1.8085, 0.1753);
f ist streng konvex für x ∈ (−∞, 0], für x ∈ [0.3897, 1.1351] und für x ∈ [1.8085, ∞), sonst
streng konkav;
f ist streng monoton fallend für x ∈ (−∞, 23 ] und für x ∈ [ 32 , 2] und sonst streng monoton
steigend;
(c) xmin = −1, ymin = − 12 , xmax = 1, ymax = 21 ;
√
√
√
√
Wendepunkte: (− 3, − 14 3); (0, 0); ( 3, 14 3); Nullstelle: (0, 0)
(d) xmin = 7, ymin = 9, xmax = 3, ymax = 1; Polstelle bei x = 5;
Nullstellen: x01 = 1; x02 = 4;keine Wendepunkte
(e) xmin = 3, ymin = 6.75; Polst. 2. Ordnung bei x = 1; hor. Wendepunkt (0, 0);
Asymptote: y = x + 2
2. Maximale Krümmung k0 = 95 · 5− 6 = 0.424847..., (r0 = 95 · 5 6 = 2.35379...)
1
1
im Punkt x0 = 2 · 5 6 = 2.61532...; y0 = 2 · 5− 3 = 1.16961...
1
1
3.
(a) E(x) = 100x − 5x2 ,
G(x) = −x3 + 7x2 + 40x − 98
(c) Betriebsoptimum 39 GE/ME, langfr. untere Preisschranke, bei x = 7ME
Betriebsminimum 24 GE/ME, kurzfr. untere Preisschranke, bei x = 6ME
(d) zwischen x1 = 1.96426 und x2 = 10.0166 gilt G(x) > 0.
4.
(a) K ′ (x) = 0.24x2 − 4x + 50;
K ′ (25) = 100
(b) Kv (x) = 0.08x3 − 2x2 + 50x,
k(x) = 0.08x2 − 2x + 50 + 300
x ,
kv (x) = 0.08x2 − 2x + 50
(c) xm = 12.5 MEx ,
kv (12.5) = 37.5 GE/MEx ist kurzfristige untere Schranke für Preis
5.
(a) p(x) = 800 −
2
25 x;
D(p(x)) ∈ [0, 10000];
2 2
(b) E(x) = 800x − 25
x ; G(x) = −2x3 +
748
2
g(x) = −2x + 25 x + 622 − 6000
x
748 2
25 x
D(x(p)) ∈ [0, 800]
+ 622x − 6000;
(c) Betriebsminimum: 65.5 e/MEx , Minimum der stückbezogenen variablen Kosten (kurzfristige Preisunterschranke), bei 7.5 MEx erreicht.
(d) p = 400 e/MEx , Emax = 2 Mill.e
6.
(a) E(x) = 120x − 10x2 ,
G(x) = −x3 + 2x2 + 60x − 98
(b) x = 5.18822; p(x) = 68.1178;
E(x) = 353.41; G(x) = 127.474;
K(x) = 225.936
(c) x = 4.19433; p(x) = 78.0567;
E(x) = 327.396; GSM (x) = 14.3923; SM (x) = 100.664
√
√
(d) xmax (t) = 13 (2 + 184 − 3t); S(t) = 3t (2 + 184 − 3t)
Bei t = 27.5015 gilt GSM (xmax (t)) = 0
(e) x = 5.18822; p(x) = 68.1178;
E(x) = 353.41; GSG (x) = 76.4844;
SG (x) = 50.9896