Lösungen zum Mikro 1 Tutorium

Lösungen zum Mikro 1 Tutorium
Thomas Rupp∗
Aufgaben 16 bis 18
8. Dezember 2000
Aufgabe 16
Der Gewinn des Monopolisten errechnet sich einfach als Optimum der Gewinnfunktion:
Erlös minus Kosten
G(y) = py − K(y) = (10 − y)y − 20 − y 2 = 10y − 20 − 2y 2
Also nurnoch das Maximum ausrechnen:
dG
dy
2
d G
dy 2
!
= 10 − 4y = 0 ⇔ y =
10
4
−4 < 0 ⇒ Maximum
=
y=
10
15
⇒ p = 10 − y =
4
2
Die obige Rechnung ist nicht weiter, als die Gleichheit von Grenzerlös und Grenzkosten,
die bei steigenden Grenzkosten immer gilt.
Im Optimum, also bei vollständiger Konkurrenz, haben wir Preis gleich Grenzkosten:
p = 10 − y = K 0 = 2y ⇔ y =
20
10
⇒p=
.
3
3
Da wir die Produzentenrente auch als Erlös minus variable Kosten auffassen können,
haben wir die beiden Wohlfahrten1 :
10
WV K
=
Z3
0
10 − ydy −
’
10
3
“2
10 − ydy −
’
10
4
“2
10
WM
=
Z4
0
WV
=
WV K − WM =
Π10
y 2 ŒŒ 3
250 100
50
100
= 10y − Œ −
=
−
=
2 0
9
9
9
3
Π10
y 2 ŒŒ 4
25
175 25
125
= 10y − Œ −
=
−
=
2 0
4
8
4
8
50 125
25
−
=
3
8
24
Alternativ kann man auch den Wohlfahrtsverlust direkt ausrechnen: er ist die Fläche
unter Nachfragefunktion minus der Fläche unter der Angebotsfunktion (variable Kosten) jeweils zwischen dem Monopolspreis und dem Preis bei vollständiger Konkurrenz
10
WV =
Z3
10
4
Π10
’ “2 "
’ “2 #
3 2 ŒŒ 3
25
10 3 10
10 3 10
− 10 −
=
10−y−2ydy = 10y − y Œ = 10 −
2
3 2 3
4
2 4
24
10
4
∗ [email protected]
1 Eigentlich war die Wohlfahrt ja: Fläche unter N −1 -Erlös+Erlös-Fläche unter A−1 . Da Erlös minus
Fläche unter A−1 gleich Erlös minus variable Kosten, ist die Rechnung OK
1
2
Aufgabe 17
Die Nachfragefunktion y = N (p) = 100 − 3p und somit p = N −1 (y) = 100−y
3 . Da
K 0 (y) = 20 ist K(y) = 20y + F (F sind die Fixkosten). Eine Produktsteuer verteuert
jede produzierte Einheit für den Produzenten. Also betragen seine Kosten nunmehr
K(y) = (20 + 10)y + F . Jetzt können wir wie gewohnt unser Gewinnmaximum ausrechnen oder einfach Grenzerlös E 0 (y) gleich Grenzkosten K 0 (y) setzen:
E 0 (y) = K 0 (y) ⇔
d(30y)
100 2
95
d((100 − y)/3 · y)
=
⇔
− y = 30 ⇔ y = 5 ⇒ p =
dy
dy
3
3
3
Aufgabe 18
a)
Erinnern wir uns daran, was die Nachfrageelastizität denn war und setzen die gegebenen
Werte ein:
dy p
dy
1
dy 4
εy,p = −
⇒−
=2⇒
=−
dp y
dp 1
dp
2
Da die Preis-Absatz-Funktion linear ist und fällt hat sie die allgemeine Form
P AF : p = b − my ⇔ y =
b−p
dy
1
= P AF −1 ⇒
=−
m
dp
m
Wir haben die PAF nach y aufgelöst, da wir sie in der Preiselastizität der Nachfrage
in Abhängigkeit vom Preis vorfinden.
Wir haben die Ableitung nun einmal allgemein (letztere) und einmal speziell gegeben.
1
1
Aus dy
dp = − 2 = − m folgt m = 2. Da die Elastizität für die Kombination p = 4, y = 1
definiert war, ist dies eine gültige Kombination. Setzen wir diese un unser m in die
allgemeine PAF ein, erhalten wir
4 = b − 2 · 1 ⇒ 6 = b ⇒ P AF : p = 6 − 2y.
b)
Wie sonst auch: Grenzerlös gleich Grenzkosten:
5
d ((6 − 2y)y)
dy
7
=
⇔ 6 − 4y = 1 ⇔ y = ⇒ p =
dy
dy
4
2
Da DB gleich Erlös minus variable Kosten:
7
2
·
5
4
−
5
4
=
25
8 .