Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
21.01.2014
Alexander Lytchak
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Wiederholung. Zerlegung in Zyklen und Transpositionen
I
Jeden k-Zykel kann man als Produkt von k − 1 Transpositionen
darstellen.
I
Jede Permutation ist ein Produkt von Zyklen die disjunkte
Teilmengen von {1, ...., , n} vertauschen.
I
Je zwei Zyklen der Länge k sind konjugiert in der Gruppe Sn .
I
Folglich ist jede Permutation als Produkt von Transpositionen
darstellbar.
I
Die Zerlegung in disjunkte Zyklen ist im Wesentlichen eindeutig. Die
Zerlegung in Transpositionen überhaupt nicht.
Alexander Lytchak
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Das Vorzeichen einer Permutation
Definition
Sei σ ∈ Sn eine Permutation. Ein Fehlstand von σ ist ein Paar (i, j), mit
1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j). Die Anzahl der Fehlstände bezeichnen wir mit
inv (σ).
Definition
Das Vorzeichen der Permutation σ ist die Zahl (−1)inv (σ) . Das Vorzeichen
wird auch als Signum bezeichnet. Die Permutation heißt gerade bzw.
ungerade, wenn sgn(σ) = 1 bzw. sgn(σ) = −1 gilt.
Beispiel
sgn
Alexander Lytchak
1 2 3 4
2 4 3 1
= (−1)4 = 1
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Multiplikativität
Proposition
Die Abbildung sgn : (Sn , ◦) → ({−1, 1}, ·) ist ein
Gruppenhomomorphismus.
Proposition
Ist σ ein Produkt von m Transpositionen, so ist sgn(σ) = (−1)m . Damit
ist σ eine gerade Permutation genau dann, wenn man es als Produkt einer
geraden Anzahl von Transpositionen darstellen kann.
Folgerung
Die Menge aller geraden Permutationen ist der Kern des Homomorphismus
sgn : Sn → {±1}. Es ist eine Untergruppe von Sn mit n!
2 Elementen. Diese
Gruppe heißt die alternierende Gruppe von Grad n und wird mit An
bezeichnet.
Alexander Lytchak
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Beispiele
Folgerung
Ein k-Zykel ist eine gerade Permutation genau dann, wenn k ungerade ist.
Damit lässt sich nun das Vorzeichen einer beliebigen Permutation leicht
ermitteln.
Folgerung
Ist σ ein Produkt von Zykeln τ1 , ..., τm der Längen l1 , ..., lm , so gilt
sgn(σ) = (−1)l1 +l2 +...+lm −m .
Beispiel
Das Signum der folgenden Permutation ist −1.
1 2 3 4 5 6
= σ1,4,2 ◦ σ5,6
4 1 3 2 6 5
Alexander Lytchak
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Invertierung von Matrizen
Sei K ein Körper und sei A ∈ K n×n eine quadratische Matrix. Mit dem
Gauss-Verfahren können wir den Rang von A berechnen und entscheiden,
ob A invertierbar ist. Wie bestimmt man aber die inverse Matrix A−1 ?
I
Wir suchen also eine Matrix B ∈ K n×n mit A · B = En .
I
Die i-te Spalte si von B muss das lineare Gleichungssystem A · si = ei
lösen.
I
Dieses System kann man für jedes i lösen, und dadurch B erhalten.
I
Jedoch stellt man fest, dass wir jedesmal dieselben
Zeilenumformungen durchführen.
I
Deswegen kann man diese Operationen für alle 1 ≤ i ≤ n gleichzeitig
durchführen. Dies nennt man das Gauß-Jordan Verfahren.
Alexander Lytchak
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Gauß-Jordan Verfahren
I
Sei A wie vorher. Wir schreiben A und En nebeneinander, getrennt
durch einen vertikalen Strich.
I
Wir wenden elementare Zeilenumformungen auf diese (n × 2n) Matrix
an und bringen die Matrix auf Zeilenstufenform.
I
Dabei wird gleichzeitig auch der Rang von A ermittelt.
I
Ist der Rang ungleich n, so ist A nicht invertierbar.
I
Ist der Rang n so sind die Diagonalelemente von A0 genau die
Pivotelemente.
I
Man kann nun weitere elementare Zeilenumformungen benutzen und
A auf Diagonalgestalt mit denselben Pivot-Elementen bringen.
I
Dividiert man die jeweiligen Zeilen durch die jeweiligen
Pivot-Elemente, so erhält man auf der linken Seite En und auf der
rechten die gesuchte inverse Matrix von A.
Alexander Lytchak
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Nicht klausurrelevant. Erinnerung: Elementarmatrizen
Definition
Eine Elementarmatrix ist eine quadratische Matrix die eine der 3 folgenden
Formen hat:
I
Eine Diagonalmatrix Dj (λ) mit Eintrag λ 6= 0 an der Stelle jj und
allen anderen Diagonaleinträgen gleich 1.
I
Eine Permutationsmatrix Pσ die einer Transposition σ ∈ Sn
entspricht.
I
Eine Matrix der Form Rk,l (λ), mit k 6= l, die sich nur im kl-ten
Eintrag von En unterscheidet. Dieser Eintrag ist gleich λ.
Wir haben früher Folgendes erkannt. Jede Elementarmatrix ist invertierbar
und das Inverse ist wieder eine Elementarmatrix. Die Multiplikation von
links mit Elementarmatrizen entspricht einer elementaren
Zeilenumformung, bzw., im Fall von Dj (λ) der Multpilikation der j-ten
Zeile mit λ.
Alexander Lytchak
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Zerlegung in Elementarmatrizen und Gauß-Jordan
I
Ist eine (n × n)-Matrix A ∈ K n×n ein Produkt von
Elementarmatrizen, so ist A invertierbar.
I
Andererseits haben wir gesehen, dass für jede invertierbare Matrix A
Elementarmatrizen B1 , ....., Bk existieren, mit B1 · B2 · ... · Bk · A = En .
I
In diesem Fall ist B1 · B2 · .... · Bk die inverse Matrix von A.
I
Wir haben A−1 = B1 · ... · Bk · En . Also entsteht A−1 durch dieselben
Umformungen aus En , die A in En verwandeln. Dies ist genau das
Gauß-Jordan Verfahren.
I
Als Beigabe erhalten wir die Umkehrung der ersten Aussage: Die
invertierbare Matrix A kann man als Bk−1 · .... · B1−1 , also als ein
Produkt von Elementarmatrizen schreiben.
Alexander Lytchak
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