Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14)
Alexander Lytchak
Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke
17.01.2014
Alexander Lytchak
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Nachtrag. Invertierung im Restklassenring
I
In Z/nZ ist die Restklasse m̄ invertierbar genau dann, wenn
ggT (m, n) = 1.
I
Man bestimmt das Inverse durch Raten oder mit dem Euklidischen
Algorithmus. In Z/7Z gilt 5̄−1 = 3̄. In Z/100Z gilt 7̄−1 = 43.
Satz
Der Restklassenring Z/nZ ist ein Körper genau dann, wenn n eine
Primzahl ist. Dieser Körper wird mit Fn bezeichnet
Beispiel
In F7 = Z/7Z hat das Gleichungssystem 2̄x + 5̄y = 6̄; 3̄x + ȳ = 1̄ als
einzige Lösung x = 1̄ und y = 5̄.
Alexander Lytchak
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Die symmetrische Gruppe. Notation
Die symmetrische Gruppe Sn besteht aus allen Bijektionen (auch
Permutationen genannt) σ : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n}. Eine Permutation
σ aus Sn werden wir in der folgenden Form notieren.
1
2
· · ·
n
σ(1) σ(2) · · · σ(n)
Diese Notation hat nicht viel mit Matrixrechnung zu tun!
Beispiel
I
I
I
1 2 3 4
2 1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
◦
=
1 3 2 4
2 3 1 4
Die Gruppe Sn hat n! Elemente.
Die Gruppe S1 ist die triviale Gruppe. Die Gruppe S2 ist die einzige
abelsche Gruppe mit zwei Elementen. Die Gruppe S3 ist die Gruppe
der Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks.
Die Gruppe Sn ist nicht-ablesch für n ≥ 3.
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Spezielle Permutationen. Zyklen
I
Für k ≤ n können wir Sk als Untergruppe von Sn auffassen, indem
wir σ ∈ Sk auf den Elementen 1, ..., k ∈ {1, ...., n} wirken lassen, und
σ(m) = m für n ≥ m > k setzen.
I
Dies definiert einen (den kanonischen) injektiven Homomorphismus
Sk → Sn .
I
Jede injektive Abbildung {1, ..., k} → {1, ...., n} definiert einen
anderen injektiven Homomorphismus Sk → Sn .
Definition
Sei 2 ≤ k ≤ n eine ganze Zahl. Ein k-Zykel ist eine Permutation, die k
Zahlen zyklisch vertauscht und die Übrigen festlässt. Das heißt, es gibt
verschiedene Zahlen 1 ≤ m1 , m2 , ..., mk ≤ n, mit
σ(mi ) = mi+1 , σ(mk ) = m1 und σ(m) = m für m 6= m1 , ...., mk . Wir
werden diesen k-Zykel als σm1 ,....,mk notieren. Ein 2-Zykel heißt
Transposition.
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Zyklen und Transpositionen. Beispiele
I
Wir sagen, dass ein Element g einer Gruppe (G , ◦) Ordnung k hat,
wenn k die kleinste positive ganze Zahl ist, s.d. g k = g ◦ g ◦ ... ◦ g
das neutrale Element e ist.
I
Jedes Element einer endlichen Gruppe hat eine endliche Ordnung.
I
Ein k-Zykel in Sn hat Ordnung k.
I
Jeden k-Zykel kann man als ein Produkt von k − 1 Transpositionen
darstellen.
I
Sind τ ∈ Sn beliebig und σ = σm1 ,m2 ,...,mk ein k-Zykel, so ist
τ ◦ σ ◦ τ −1 der k-Zykel στ (m1 ),τ (m2 ),....,τ (mk ) .
I
Zwei Elemente g1 , g2 einer Gruppe (G , ◦) heißen konjugiert, wenn es
ein h ∈ G gibt, mit g1 = h ◦ g2 ◦ h−1 .
I
Jeder k-Zykel in Sn ist konjugiert zu σ1,...k .
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Zerlegung in Zyklen und Transpositionen
Proposition
Jede Permutation σ ∈ Sn kann man als Produkt σ = σ1 ◦ σ2 .... ◦ σl von
Zyklen darstellen, die disjunkte Teilmengen von {1, ...., n} zyklisch
vertauschen. Die Zyklen σi kommutieren miteinander.
Beispiel
1 2 3 4 5 6
4 1 3 2 6 5
= σ1,4,2 ◦ σ5,6
Folgerung
Jede Permutation kann man als Produkt von Transpositionen darstellen.
Alexander Lytchak
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Das Vozeichen einer Permutation
.
Definition
Sei σ ∈ Sn eine Permutation. Ein Fehlstand von σ ist ein Paar (i, j), mit
1 ≤ i < j ≤ n, σ(i) > σ(j). Die Anzahl der Fehlstände bezeichnen wir mit
inv (σ).
Definition
Das Vorzeichen der Permutation σ ist die Zahl (−1)inv (σ) . Das Vorzeichen
wird auch als Signum bezeichnet. Die Permutation heißt gerade bzw.
underade, wenn sgn(σ) = 1 bzw. sgn(σ) = −1 gilt.
Beispiel
sgn
Alexander Lytchak
1 2 3 4
2 4 3 1
= (−1)4 = 1
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Multiplikativität
Proposition
Die Abbildung sgn : (Sn , ◦) → ({−1, 1}, ·) ist ein
Gruppenhomomorphismus.
Proposition
Ist σ ein Produkt von m Transpositionen, so ist sgn(σ) = (−1)m . Damit
ist σ eine gerade Permutation genau dann, wenn man es als Produkt einer
geraden Anzahl von Transpositionen darstellen kann.
Folgerung
Die Menge aller geraden Permutationen ist der Kern des Homomorphismus
sgn : Sn → {±1}. Es ist eine Untergruppe von Sn mit n!
2 Elementen. Diese
Gruppe heißt die alternierende Gruppe von Grad n und wird mit An
bezeichnet.
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Beispiele
Folgerung
Ein k-Zykel ist eine gerade Permutation genau dann, wenn k ungerade ist.
Damit lässt sich nun das Vorzeichen einer beliebigen Permutation leicht
ermitteln.
Folgerung
Ist σ ein Produkt von Zykeln τ1 , ..., τm der Längen l1 , ..., lm , so gilt
sgn(σ) = (−1)l1 +l2 +...+lm −m .
Beispiel
Das Signum der folgenden Permutation ist −1.
1 2 3 4 5 6
= σ1,4,2 ◦ σ5,6
4 1 3 2 6 5
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Kanonische Form einer Permutation. Nicht klausurrelevant
I
Sei X eine n-elementige Menge und sei σ ∈ SymX beliebig.
I
Wählt man eine Nummerierung von X , d.h. eine bijektive Abbildung
τ : X → {1, ..., n}, so erhält man einen Isomorphismus SymX → Sn
und damit eine nummerische Darstellung von σ.
I
Verschiedene Nummerierungen ergeben verschiedene Darstellungen.
I
Ist X von Anfang an Sn gewesen, so ergibt eine Renummerierung der
Menge X eine Konjugationsabbbildung σ → τ ◦ σ ◦ τ −1 .
I
Gegeben σ, wie findet man eine möglichst einfache Darstellung von
σ? In anderen Worten, gibt es einen natürlichen Repräsentanten der
Äquivalenzklasse von σ bezüglich der Konjugation? In anderen
Worten, was ist die Normalform einer Permutation?
I
Diese Frage kann man leicht beantworten. Die Frage ist analog zu der
Frage der Bestimmung von Normalformen linearer Abbildungen.
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Kanonische Form einer Permutation II
Proposition
Sei X eine n-elementige Menge. Für jede Permutation σ : X → X gibt es
eindeutig bestimmte ganze Zahlen l1 ≥ l2 ≥ .... ≥ lm ≥ 2 mit
l1 + l2 + ..... + lm ≤ n mit der folgenden Eigenschaft. Es gibt eine
Nummerierung τ : X → {1, ...., n}, so dass τ ◦ σ ◦ τ −1 in der folgenden
Form erscheint: τ ◦ σ ◦ τ −1 =
σ1,2,...,l1 ◦ σl1 +1,l1 +2,.....,l1 +l2 ◦ ... ◦ σl1 +....+lm−1 +1,l1 +...+lm−1 +2,....,l1 +l2 +....+lm .
Aus der kanonischen Form kann man das Signum und die Ordnung sehr
leicht ablesen.
Alexander Lytchak
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