1) Es sei n eine natürliche Zahl. Es sei S n die Gruppe der

1) Es sei n eine natürliche Zahl. Es sei Sn die Gruppe der Permutationen
der Menge M = {1, 2, 3, . . . , n}.
Es sei r ≤ n eine Zahl und es seien i1 , . . . , ir verschiedene Elemente der
Menge M . Dann definiert man ein Element f ∈ Sn wie folgt:
Für eine natürliche Zahl 1 ≤ k < r, setzt man f (ik ) = ik+1 . Man setzt
f (ir ) = i1 . Wenn m ∈
/ {i1 , . . . , ir }, so setzt man f (m) = m. Abbildungen f ,
die man so erhält, nennt man zyklische Permutationen. Man schreibt
f = (i1 , . . . , ir ).
Man berechne das Signum der Permutation f .
Lösung: Die Musterlösung zu den Übungen 2 Aufgabe 2 kann verwendet
werden.
Die Lösung vereinfacht sich, wenn man aus der Vorlesung als bekannt
voraussetzt, dass eine Transposition das Signum −1 hat (siehe “Das Signum
einer Permutation auf der Homepage”).
Es seien k, l ∈ M = {1, 2, 3, . . . , n} zwei verschiedene Zahlen. Es sei τ die
Permutation, die k und l vertauscht
τ (k) = l,
τ (l) = k,
aber alle übrigen Zahlen in M festlässt. Man nennt τ eine Tranposition. Da
τ zyklisch ist, schreibt man τ = (k, l) oder τ = (l, k). Wir setzen als bekannt
voraus, dass
sgn(k, l) = −1.
Man hat die folgende Gleichung in der Gruppe Sn
(i1 , ir ) ◦ (i1 , . . . , ir−1 ) = (i1 , . . . , ir ).
Dann folgt nach der Vorlesung loc.cit., dass
sgn((i1 , ir )) · sgn((i1 , . . . , ir−1 )) = sgn((i1 , . . . , ir )).
(1)
Da für die Transposition sgn((i1 , ir )) = −1. Also erhalten wir
sgn((i1 , . . . , ir )) = − sgn((i1 , . . . , ir−1 )).
(2)
Wir zeigen durch volständige Induktion, dass
sgn((i1 , . . . , ir )) = (−1)r−1 .
Für r = 2 ist das klar, weil wir eine Transposition haben. Der Induktionsschritt folgt aus (2).