Lineare Algebra I - sigma

Lineare Algebra I
Vorlesung 28
09.01.2006
Dieses Dokument wurde von der Homepage www.sigma-mathematics.de runtergeladen. Es darf zu nichtkommerziellen Zwecken verwendet und frei weitergegeben werden. Jeglicher Mißbrauch ist untersagt. Ich
hafte nicht für eventuelle Schäden, die durch Verwendung dieses Dokuments auftreten. Sollte das Dokument
Fehler enthalten, so melden Sie diese bitte an
[email protected].
III
Determinanten
Die Determinante ist eine Abbildung
det : K n×n → K
mit „schönen“ Eigenschaften, z.B.
• det(A) 6= 0 ⇔ A invertierbar,
• det(AB) = det(A) det(B).
Zur Einführung der Determinante benötigen wir einige Aussagen über Sn .
§1
Das Signum einer Permutation
Sei n ∈ N.
Erinnerung. (vgl. (2.3)) Sn = {π : n → n | π ist bijektiv}, n = {1, . . . , n}. Elemente aus Sn heißen Permutationen. Sn ist Gruppe mit „◦“ als Verknüpfung, die symmetrische Gruppe auf n Ziffern. |Sn | = n!.
Schreibweise. π ∈ Sn :
1
2
3
π(1) π(2) π(3)
...
...
n
.
π(n)
Z.B. für n = 5:
1 2 3
4 1 3
1 2 3
4 1 3
1 2
4 3
3 4
2 1
4 5
5 2
4 5
5 2
5
1 2
=
5
5 3
3 4
1 4
5
.
2
(3.1) Definition. Sei n ≥ 2. τ ∈ Sn heißt Transposition, falls gilt: es gibt k 6= l ∈ n mit τ (k) = l, τ (l) = k und
τ (i) = i für alle i 6= k, l. τ „vertauscht“ die Ziffern k und l. Wir schreiben (kl) für τ .
Z.B. für n = 5:
1 2 3 4 5
(24) =
.
1 4 3 2 5
(3.2) Bemerkung. Ist τ ∈ Sn Transposition, dann ist τ 6= 1(= idn ) und τ 2 = 1.
(3.3) Satz. (a) Sei τ ∈ Sn Transposition ⇒ τ ist Produkt einer ungeraden Anzahl von Transpositionen
benachbarter Ziffern (d.h. von der Form (i, i + 1)).
1
2
www.sigma-mathematics.de/semester6/linalg1/vorlesungen/vorlesung28.pdf
(b) Sei π ∈ Sn , π 6= 1 ⇒ π ist Produkt von Transpositionen benachbarter Ziffern.
Beweis. (a) Sei τ = (kl) mit 1 ≤ k < l ≤ n. Wir führen vollständige Induktion über l − k, wobei für l − k = 1
nichts zu tun ist. Es sei also l − k > 1. Dann gilt
(kl) = (l − 1, l)(k, l − 1)(l − 1, l).
(k, l − 1) erfüllt die Behauptung nach Induktion ⇒ (kl) erfüllt die Behauptung.
(b) Wegen (a) genügt es zu zeigen: π ist Produkt von Transpositionen. Wir beweisen dies durch Induktion
über n.
n = 2: π = 1 = (12)(12) oder π = (12).
n → n + 1: Sei π ∈ Sn+1 .
Induktion
1. Fall: π(n + 1) = n + 1. Definiere π ′ ∈ Sn durch π ′ (i) = π(i) für 1 ≤ i ≤ n
⇒
π ′ ist Produkt von
Transpositionen aus Sn ⇒ π ist Produkt der entsprechenden Transpositionen aus Sn+1 .
1. Fall
2. Fall: π(k) = n + 1 für ein k mit 1 ≤ k ≤ n. Sei π ′ := π(k, n + 1) ∈ Sn+1 ⇒ π ′ (n + 1) = n + 1 ⇒ π ′
ist Produkt von Transpositionen ⇒ π = π ′ (k, n + 1) ist Produkt von Transpositionen.
Die Darstellung von π ∈ Sn als Produkt von Transpositionen ist im Allgemeinen nicht eindeutig, z.B.: (12)(23) =
(45)(12)(23)(45) in S5 .
(3.4) Definition. Sei π ∈ Sn .
(a) Ein Paar (i, j), 1 ≤ i < j ≤ n heißt Fehlstandspaar, wenn gilt: π(i) > π(j).
(b) sgn(π) := (−1)|{Fehlstandspaare von π}| ∈ Z heißt das Signum von π (sgn(π) ∈ {1, −1} ⊆ Z).
(3.5) Beispiel.
• π = 1 hat keine Fehlstandspaare ⇒ sgn(1) = 1.
• τ = (i, i + 1) (mit i < n) hat genau ein Fehlstandspaar, nämlich (i, i + 1) ⇒ sgn(τ ) = −1.
(3.6) Satz. Seien π, σ ∈ Sn . Dann gilt:
sgn(πσ) = sgn(π) sgn(σ).
(Mit anderen Worten: sgn : Sn → {1, −1} = Z∗ ist ein Gruppenhomomorphismus.)
(3.5)(b)
Beweis. 1. Fall: n ≥ 2 und σ = (i, i + 1) (i < n) ist Transposition benachbarter Ziffern ⇒
1
...
i−1
i
i+1
i+2
...
n
πσ = π(i, i + 1) =
.
π(1) . . . π(i − 1) π(i + 1) π(i) π(i + 2) . . . π(n)
sgn(σ) = −1.
Es gilt:
(a) (k, i), k < i Fehlstandspaar von π ⇔ (k, i + 1) ist Fehlstandspaar von πσ.
(b) (i, k), k > i + 1 Fehlstandspaar von π ⇔ (i + 1, k) ist Fehlstandspaar von πσ.
(c) Analog zu (a) für i + 1 statt i.
(d) Analog zu (b) für i + 1 statt i.
(e) (i, i + 1) ist Fehlstandspaar von π ⇔ (i, i + 1) ist kein Fehlstandspaar von πσ.
Aus (a) bis (e) folgt: |{Fehlstandspaare von π}| = |{Fehlstandspaare von πσ}| ± 1 ⇒ sgn(πσ) = − sgn(π) =
sgn(π) sgn(σ).
2. Fall: Schreibe σ = τ1 . . . τl , wobei τi für 1 ≤ i ≤ l Transposition benachbarter Ziffern ist (nach (3.3)(b)).
Induktion über l:
l = 1: 1. Fall. l − 1 → l: Setze σ ′ = τ1 . . . τl−1 ⇒
1. Fall
sgn(πσ) = sgn((πσ ′ )τl ) = sgn(πσ ′ ) sgn(τl )
= sgn(π) sgn(σ).
Induktion
=
(3.7) Korollar. Sei τ ∈ Sn Transposition ⇒ sgn(τ ) = −1.
Beweis. (3.3)(a), (3.5)(b), (3.6).
1. Fall
sgn(π) sgn(σ ′ ) sgn(τl ) = sgn(π) sgn(σ ′ τl )