¨Ubungen zur Linearen Algebra I

Georg Hein
Wintersemester 2011/12
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 5.1. Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen zwischen den beiden vierelementigen Gruppen G1 und G2 an, die durch ihre Gruppentafeln nachfolgend gegeben
sind.




◦ e a b c
◦ e a b c
 e e a b c 
 e e a b c 







G1 =  a a b c e 
G2 = 
 a a e c b .
 b b c e a 
 b b c e a 
c c e a b
c c b a e
Beschreiben Sie das Bild und den Kern jedes dieser Gruppenhomomorphismen.
Aufgabe 5.2. Die Automorphismengruppe Sei G eine Gruppe.
ϕ
(i) Zeigen Sie, dass Aut(G) := {G → G | ϕ ist bijektiver Gruppenhomomorphismus}
eine Gruppe ist.
α
(ii) Zeigen Sie, dass G → Aut(G) mit g 7→ αg mit αg (h) = g ◦ h ◦ g −1 ein Gruppenhomomorphismus ist.
(iii) Berechnen Sie den Gruppenhomomorphismus α aus (ii) für die beiden Gruppen
G1 = Z/6Z und G2 = S3 .
Aufgabe 5.3. Wir betrachten die Permutationen in S5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
ρ=
σ=
τ=
.
2 3 4 1 5
3 5 4 2 1
3 2 5 4 1
Ihre Aufgabe ist es, die zehn folgenden Zahlen zu berechnen.
sgn(ρ)
sgn(ρ ◦ ρ)
sgn(σ)
sgn(σ ◦ ρ)
sgn(τ )
sgn(ρ−1 )
sgn(ρ ◦ σ)
sgn(τ ◦ ρ ◦ τ −1 )
sgn(ρ ◦ τ )
sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)
Aufgabe 5.4. Der Satz von Cayley
Sei (G, ◦) eine endliche Gruppe mit n Elementen. Zeigen Sie, dass G sich als Untergruppe
der symmetrischen Gruppe Sn darstellen läßt.
Tipp/Idee: (1) Identifizieren Sie Bij(G) mit Sn .
(2) Zeigen Sie, dass die Abbildung ψ : G → Bij(G), die durch ψ(g) = ψg mit ψg (h) = g ◦ h
definert ist, ein Gruppenhomomorphismus ist.
(3) Zeigen Sie, dass ψ injektiv ist.
Aufgabe 5.5. Beweisen Sie die folgende Aussage: Jede Untergruppe H ⊂ G vom Index
(G : H) := #(G/H) = 2 ist ein Normalteiler!
Geben Sie ferner zu jeder natürlichen Zahl n > 2 eine Gruppe G und eine Untergruppe
H ⊂ G an, die die Bedingungen (G : H) = n und H ist kein Normalteiler in G erfüllen.
Abgabe: Woche vom 21.–25.11. vor den Übungen oder in das Fach.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss eine Heftklammer verwendet werden!