Blatt 5

Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 5.1. Wir betrachten die Permutationen
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
ρ=
σ=
2 3 4 1 5
3 5 4 2 1
τ=
1 2 3 4 5
3 2 5 4 1
.
Ihre Aufgabe ist es, die zehn folgenden Zahlen zu berechnen (je einen Punkt).
sgn(ρ)
sgn(ρ ◦ ρ)
sgn(σ)
sgn(σ ◦ ρ)
sgn(τ )
sgn(ρ−1 )
sgn(ρ ◦ σ)
sgn(τ ◦ ρ ◦ τ −1 )
sgn(ρ ◦ τ )
sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)
Aufgabe 5.2. In dieser Aufgabe betrachten wir die sechselementige Gruppe G = S3 .
(i) (2 Punkte) Geben Sie alle Elemente von S3 und deren Ordnungen an!
(ii) (3 Punkte) Geben Sie alle Untergruppen U von G an!
(iii) (3 Punkte) Welche dieser Untergruppen sind Normalteiler?
(iv) (2 Punkte) Gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus G → Z/3Z.
Aufgabe 5.3. Sei τ ∈ Sn eine Permutation.
(i) (4 Punkte) Beweisen Sie die Formel
sgn(τ ) =
(ii)
τ (j) − τ (i)
.
j
−
i
1≤i<j≤n
Y
(2 Punkte) Zeigen Sie, dass die durch τ auf der Menge [n] = {1, 2, . . . , n}
definierte Relation
k ∼τ l ⇔ es existiert ein m ∈ Z mit τ m (k) = l
eine Äquivalenrelation ist. Die Äquivalenzklassen von ∼τ bezeichnet man als
die Bahnen von τ .
(iii) (4 Punkte) Beweisen Sie die Gleichung
sgn(τ ) = (−1)n−b(τ ) ,
wobei b(τ ) die Anzahl der Bahnen von τ bezeichne.
Aufgabe 5.4. (5 Punkte) Beweisen Sie die folgende Aussage: Jede Untergruppe H ⊂ G
vom Index (G : H) = 2 ist ein Normalteiler!
(5 Punkte) Geben Sie ferner zu jeder natürlichen Zahl n > 2 eine Gruppe G und eine
Untergruppe H ⊂ G an, die die Bedingungen (G : H) = n und H ist kein Normalteiler
in G erfüllen.
Abgabe: Bis Montag, 17. Mai 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!