Blatt 1-13

Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 1.1. Wir betrachten die folgenden Punkte im R2
P1 = (2, 3) P2 = (−2, 4) P3 = (3, −1), .
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Geben Sie die Gerade G durch P1 und P2 in einer Parameterdarstellung an!
Geben Sie die Gerade G durch eine Geradengleichung an!
Liegt der Punkt P3 auf der Gerade G? Begründen Sie Ihre Antwort!
Geben Sie eine zu G parallele Gerade, die aber von G verschieden sein soll,
sowohl in Parameterdarstellung als auch durch eine Geradengleichung an!
Aufgabe 1.2. Ein Kiosk bietet zwei Sorten Bier an. Ein Student kauft 123 Flaschen für
seinen Geburtstag ein. Er bezahlt 10578 Cent. Kann man aus diesen Zahlen die Anzahl
der Bierflaschen einer Sorte bestimmen, wenn man den Preis dieser Flaschen kennt?
Aufgabe 1.3. Wir betrachten die Punkte P = (1, 2, 3) und Q = (4, 5, 6) in R3 .
(i) Geben Sie die Menge GP aller Geraden durch P in Parametergleichung an!
(ii) Geben Sie die Menge EQ aller Ebenen durch Q durch ihre Ebenengleichungen
an!
(iii) Beschreiben Sie die Menge


G ∈ GP


M = (G, E) E ∈ EQ

G und E sind nicht transversal 
Hinweis: Eine Gerade G ⊂ R3 und eine Ebene E ⊂ R3 heißen transversal, wenn sie sich
in genau einem Punkt schneiden.
Aufgabe 1.4. Zwei Aufgaben aus der Forstwirtschaft
(i) Ein Förster geht samt Hund von seinem Hochstand zu seinem 5 Kilometer
entfernten Forsthaus. Sein Hund läuft doppelt so schnell wie er und läuft zum
Haus, von dort zum Förster, wieder zum Haus, wieder zum Förster, . . .
Welche Strecke ist der Hund gelaufen, wenn der Förster ankommt?
(ii) Diesmal geht der Förster mit seinem Hund vom Forsthaus zum Hochstand.
Sie brechen zugleich auf und der Hund pendelt wie in Teil (i) zwischen Förster
und Haus.
Wo befindet sich der Hund, wenn der Förster am Hochstand ankommt?
In welche Richtung läuft er?
Abgabe: Bis Montag, 19.April 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 2.1. Wir betrachten die
 

1
x1 =  2  , x2 = 
3
folgenden Vektoren in R3

 


4
7
11
5  , x3 =  8  und x4 =  13  .
6
9
17
Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort!
(i) (1 Punkt) Ist x1 linear abhängig?
(ii) (3 Punkte) Sind x1 und x2 linear abhängig?
(iii) (3 Punkte) Sind x1 , x2 und x3 linear abhängig?
(iv) (3 Punkte) Sind x1 , x2 , x3 und x4 linear abhängig?
x1
y1
Aufgabe 2.2. Zeigen Sie, dass zwei Vektoren x =
und y =
in R2 genau
x2
y2
dann linear abhängig sind, wenn x1 y2 = x2 y1 gilt!
Aufgabe 2.3. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen t für die das lineare Gleichungssystem




1 1 1 1
1
 1 2 3 4 

5 


x = 
 1 3 6 8 
 12 − t 
21
1 6 12 17
lösbar ist und geben Sie für diese t alle Lösungen an!
Aufgabe 2.4. Ein superleichtes Sudoku
x1
x2
h1
x3
x4
h2
v1
v2
Es geht darum zu vorgegebenen reellen Zahlen h1 , h2 , v1 und v2 alle Lösungen {x1 , x2 , x3 , x4 }
zu finden, so dass die Summe jeder Zeile (horizontal) gerade das angebene hi und die Summe der Spalten (vertikal) gerade das angegebene vi ist.
(i)
(ii)
(2 Punkte) Schreiben Sie diese Aufgabe als Gleichungssystem!
(3 Punkte) Welche Bedingung müssen h1 , h2 , v1 und v2 erfüllen, damit das
Gleichungssytem lösbar ist?
(iii) (5 Punkte) Geben Sie alle Lösungen des Gleichungssystems in Abhängigkeit
von h1 , h2 , v1 und v2 an!
Abgabe: Bis Montag, 26.04.10 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 3.1. Es sei A · x = b ein lineares Gleichungssystem mit einer 4 × 5-Matrix A
mit reellen Koeffizienten und b ∈ R4 . Welche Kardinalitäten kann die Lösungsmenge
Lös(A, b) := {x ∈ R5 | A · x = b} haben? Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 3.2. Zeigen Sie, dass durch
(x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) ⇔ x21 + x22 = y12 + y22
eine Äquivalenzrelation auf R2 definiert ist. Geben Sie ein vollständiges Repräsentantensystem an und skizzieren Sie die Äquivalenzklasse des Punktes (3, 4) in R2 .
Aufgabe 3.3. Wir betrachten eine ganze Zahl m und die Relation ∼m auf Z, die durch
n ∼m n′ ⇔ es existiert ein k ∈ Z mit n − n′ = k · m
gegeben ist.
(i) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass ∼m eine Äquivalenzrelation ist.
(ii) (1 Punkt) Wieviel Elemente hat Z/mZ := (Z/ ∼m ), die Menge der Äquivalenzklassen?
(iii) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die folgende Addition von Äquivalenzklassen korrekt definiert ist:
[n] + [n′ ] := [n + n′ ]
(iv) (1 Punkt) Zeigen Sie, dass Z/mZ mit der obigen Addition eine kommutative
Gruppe ist.
(v) (3 Punkte) Für welche n ∈ Z ist die Abbildung
Z/mZ → Z/nZ
[k]m 7→ [k]n
korrekt definiert? Hierbei bezeichnen [k]m und [k]n die Äquivalenzklassen der
ganzen Zahl k bezüglich der Relationen ∼m und ∼n .
Aufgabe 3.4. Wir betrachten die Menge
M = R2 × R2 \ {0}
sowie die Relation ∼ auf M, die durch
(x, y) ∼ (x′ , y ′) ⇔ es existieren (a, b) ∈ R × (R \ {0}) mit x′ = x + a · y und y ′ = b · y
gegeben ist. Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist und geben Sie eine Bijektion
von M/ ∼ und der Menge der Geraden in R2 an!
Abgabe: Bis Montag, 3. Mai 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 4.1. Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen zwischen den beiden vierelementigen Gruppen G1 und G2 an, die durch ihre Gruppentafeln nachfolgend gegeben
sind.




◦ e a b c
◦ e a b c
 e e a b c 
 e e a b c 







G1 =  a a b c e 
G2 = 
 a a e c b .
 b b c e a 
 b b c e a 
c c e a b
c c b a e
Aufgabe 4.2. Wir betrachten die Gruppe G = R \ {0} der von Null verschiedenen reellen
Zahlen mit der Gruppenoperation Multiplikation. Welche der folgenden Teilmengen U ⊂
G sind eine Untergruppe. Begründen Sie Ihre Aussagen!
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(1
(1
(2
(2
(2
(2
Punkte)
Punkte)
Punkte)
Punkte)
Punkte)
Punkte)
U1
U2
U3
U4
U5
U6
= {u ∈ G | u > 0}.
= {u ∈ G | u > 21 }.
= {u ∈ G | |u| = 1}.
= {u ∈ G | u ∈ Q}.
= {u ∈ G | ln(|u|) ∈ Q}.
= {u ∈ G | u > 0 und ln(u) ∈ Z}.
Aufgabe 4.3. Geben Sie Menge aller natürlichen Zahlen n ∈ N an, für die eine Untergruppe von S4 mit n-Elementen existiert! Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 4.4. Die Automorphismengruppe Sei G eine Gruppe.
ϕ
(i) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass Aut(G) := {G → G | ϕ ist Isomorphismus} eine
Gruppe ist.
α
(ii) (4 Punkte) Zeigen Sie, dass G → Aut(G) mit g 7→ αg mit αg (h) = g ◦ h ◦ g −1
ein Gruppenhomomorphismus ist.
(iii) (je zwei Punkte) Berechnen Sie den Gruppenhomomorphismus α aus (ii) für
die beiden Gruppen G1 = Z/6Z und G2 = S3 .
Abgabe: Bis Montag, 10. Mai 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 5.1. Wir betrachten die Permutationen
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
σ=
ρ=
2 3 4 1 5
3 5 4 2 1
τ=
1 2 3 4 5
3 2 5 4 1
.
Ihre Aufgabe ist es, die zehn folgenden Zahlen zu berechnen (je einen Punkt).
sgn(ρ)
sgn(ρ ◦ ρ)
sgn(σ)
sgn(σ ◦ ρ)
sgn(τ )
sgn(ρ−1 )
sgn(ρ ◦ σ)
sgn(τ ◦ ρ ◦ τ −1 )
sgn(ρ ◦ τ )
sgn(ρ ◦ ρ ◦ ρ)
Aufgabe 5.2. In dieser Aufgabe betrachten wir die sechselementige Gruppe G = S3 .
(i) (2 Punkte) Geben Sie alle Elemente von S3 und deren Ordnungen an!
(ii) (3 Punkte) Geben Sie alle Untergruppen U von G an!
(iii) (3 Punkte) Welche dieser Untergruppen sind Normalteiler?
(iv) (2 Punkte) Gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus G → Z/3Z.
Aufgabe 5.3. Sei τ ∈ Sn eine Permutation.
(i) (4 Punkte) Beweisen Sie die Formel
sgn(τ ) =
(ii)
τ (j) − τ (i)
.
j−i
1≤i<j≤n
Y
(2 Punkte) Zeigen Sie, dass die durch τ auf der Menge [n] = {1, 2, . . . , n}
definierte Relation
k ∼τ l ⇔ es existiert ein m ∈ Z mit τ m (k) = l
eine Äquivalenrelation ist. Die Äquivalenzklassen von ∼τ bezeichnet man als
die Bahnen von τ .
(iii) (4 Punkte) Beweisen Sie die Gleichung
sgn(τ ) = (−1)n−b(τ ) ,
wobei b(τ ) die Anzahl der Bahnen von τ bezeichne.
Aufgabe 5.4. (5 Punkte) Beweisen Sie die folgende Aussage: Jede Untergruppe H ⊂ G
vom Index (G : H) = 2 ist ein Normalteiler!
(5 Punkte) Geben Sie ferner zu jeder natürlichen Zahl n > 2 eine Gruppe G und eine
Untergruppe H ⊂ G an, die die Bedingungen (G : H) = n und H ist kein Normalteiler
in G erfüllen.
Abgabe: Bis Montag, 17. Mai 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 6.1. Seien R1 und R2 zwei Ringe mit Einselement. Zeigen Sie, dass das Produkt
R = R1 × R2 mit den Operationen
(r1 , r2 ) + (r1′ , r2′ ) = (r1 + r1′ , r2 + r2′ )
(r1 , r2 ) · (r1′ , r2′ ) = (r1 · r1′ , r2 · r2′ )
auch ein Ring mit Einselement ist. (6 Punkte)
Zeigen Sie, dass die Abbildung R → R1 , die (r1 , r2 ) 7→ r1 abbildet, ein Ringhomomorphismus ist. (2 Punkte)
Ist R nullteilerfrei, wenn R1 und R2 nullteilerfrei sind? Begründen Sie Ihre Antwort! (2
Punkte)
Aufgabe 6.2. Der Chinesische Restsatz
Es seien a und b zwei teilerfremde positive ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass der Ring Z/a·b·Z
isomorph zum Produkt der Ringe (Z/a · Z) × (Z/b · Z) ist.
Hinweis: Konstruieren Sie einen Ringhomomorphismus ϕ : Z/a·b·Z → (Z/a·Z)×(Z/b·Z)
(siehe Aufgabe 3.3.(v)). Zeigen Sie, dass ϕ ein Isomorphismus ist.
Aufgabe 6.3. Das Lösen simultaner Kongruenzen
Es seien a und b wieder zwei teilerfremde positive ganze Zahlen. Ferner seien c, d ∈ Z
fixiert. Wir betrachten das folgende System von Gleichungen:
x ≡ c mod a
x ≡ d mod b .
(i) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass es eine Lösung x ∈ Z des obigen Systems geben
muss.
(ii) (2 Punkte) Geben Sie ausgehend von einer Lösung x, alle Lösungen des obigen
Systems an!
(iii) (3 Punkte) Seien e und f ganze Zahlen mit ae + bf = 1, dann ist x = ade + bcf
eine Lösung des obigen Systems.
(iv) (3 Punkte) Finden Sie alle ganzen Zahlen m mit m ≡ 12 mod 37 und
m ≡ 5 mod 73.
Hinweis: Für (i) und (ii) dürfen Sie Aufgabe 6.2 nutzen.
Aufgabe 6.4. Der ggT
(i) Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler h der Polynome f = X 3 +X 2 +2X
und g = X 2 + 1 im Ring Q[X]. Stellen Sie h in der Form h = h1 · f + h2 · g
mit h1 , h2 ∈ Q[X] dar! (5 Punkte)
(ii) Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler h der ganzen Zahlen f =
1111111111 und g = 111111. Stellen Sie h in der Form h = h1 · f + h2 · g
mit h1 , h2 ∈ Z dar! (5 Punkte)
Abgabe: Bis Mittwoch, 26. Mai 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 7.1. Sei (V, +) eine Gruppe mit neutralem Element e. Es gelte für alle v ∈ V ,
dass v + v = e.
(i) (4 Punkte) Beweisen Sie, dass (V, +) eine abelsche Gruppe ist!
(ii) (6 Punkte) Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum über dem Körper F2 ist, wobei
die Skalarmultiplikation durch 1 · v := v und 0 · v := e definiert sei.
Aufgabe 7.2. Lineare Unabhängigkeit
(i) (2 Punkte) Geben Sie zwei linear unahängige Vektoren v1 und v2 im QVektorraum R an!
(ii) (2 Punkte) Beweisen Sie, dass im K-Vektorraum K zwei Vektoren v1 und v2
stets linear abhängig sind.
(iii) (2 Punkte) Sind die Vektoren 2 + 3i und 3 + 2i im R-Vektorraum C linear
abhängig?
(iv) (2 Punkte) Sind die Vektoren 2 + 3i und 3 + 2i im C-Vektorraum C linear
abhängig?
(v) (2 Punkte) Geben Sie einen K-Vektorraum V an, so dass die Menge V \ {0}
nichtleer und linear unabhängig ist. (Tipp: Es ist nur ein “sehr kleiner” Körper
K möglich.)
Aufgabe 7.3. Wir betracheten den Polynomring k[X] über dem Körper k. Weiterhin
sei Abb(k, k) der Ring der Abbildungen von k nach k mit elementweiser Addition und
Multiplikation. Das heißt für f, g ∈ Abb(k, k) definieren wir: (f + g)(a) := f (a) + g(a)
und (f · g)(a) := f (a) · g(a).
P
Einem Polynom p = ni=0 ai X i ∈ k[X] ordnenPwir die Abbildung ϕ(p) ∈ Abb(k, k) zu,
die durch die Abbildungsvorschrift ϕ(p)(λ) := ni=0 ai λi definiert ist.
(i)
(2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ : k[X] → Abb(k, k) ein Ringhomomorphismus ist.
(ii) (6 Punkte) Zeigen Sie, dass für einen endlichen Körper k der Ringhomomorphismus ϕ surjektiv aber nicht injektiv ist.
(iii) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass für einen unendlichen Körper k der Ringhomomorphismus ϕ injektiv aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe 7.4. Wir betrachten den Vektorraum Abb(R, R) der Abbildungen von R nach
R. Sind die drei Vektoren sin, cos und exp linear abhängig? Hierbei bezeichnen sin, cos
und exp die drei Ihnen aus der Schule bekannten Abbildungen.
Abgabe: Bis Montag, 31. Mai 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Die nachfolgende Information erfolgt auf Bitte der Fachschaft Mathematik und reflektiert nicht die Meinung des Vorlesenden!
Grillen mit der Fachschaft ist stark! Mehr Infos unter:
http://www.doodle.com/zszv92wwwif9ni6w?adminKey=&participantKey=
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 8.1. Wir betrachten die Vektoren


 

1
1
1
 −4
 2 
 1 


 
v1 = 
 7  v2 =  0  v3 =  42
−26
4
−1





2
 1 

v4 = 
 21 
−7

im Q-Vektorraum Q4 . Geben Sie eine Basis des Unterraumes V = span(v1 , v2 , v3 , v4 ) an!
 
 
1
2
Aufgabe 8.2. Wir betrachen die beiden Vektoren v1 =  2  und v2 =  3  in R3 .
5
4
 
 
 
0
3
6
Entscheiden Sie, welche der Vektoren w1 =  5 , w2 =  5  und w3 =  1  im
2
9
6
3
Unterraum V = span(v1 , v2 ) ⊂ R liegen. Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 8.3. Sei k ein Körper. Wir bezeichnen mit
k[X]d := {f ∈ k[X] | f = 0 oder deg(f ) ≤ d}
die Menge der Polynome vom Grad höchstens d.
(i) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass V = R[X]3 ein vierdimensionaler R-Vektorraum
ist.
(ii) (3 Punkte) Zeigen Sie, dass W = {f ∈ R[X]3 | f (−1) = f (1) und f (2) = 0}
ein Untervektorraum von V ist.
(iii) (4 Punkte) Geben Sie eine Basis von W an!
Aufgabe 8.4. Sei M eine Menge. Wir betrachten den Q-Vektorraum
V = Abb(M, Q).
1 m∈N
Für eine Teilmenge N ⊂ M bezeichne χN die Abbildung χN (m) =
.
0 m 6∈ N
(i)
(3 Punkte) Seien N1 und N2 zwei Teilmengen von M mit nichtleerem Durchschnitt und {χN1 , χN2 , χN1 ∪N2 } linear abhängig. Zeigen Sie, dass N1 ⊂ N2 oder
N2 ⊂ N1 gilt.
(ii) (3 Punkte) Sei M endliche Menge. Geben Sie eine Basis des Q-Vektorraums
V = Abb(M, Q) an. Begründen Sie Ihre Antwort!
(iii) (4 Punkte) Beweisen Sie, dass der Q-Vektorraum V = Abb(N, Q) keine abzählbare Basis besitzt.
Abgabe: Bis Montag, 7. Juni 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
4
Aufgabe 9.1.
eineBasis
 Vektorraums V ⊂ R an, der durch
 des
 reellen
  Sie 
 Geben
1
1
2
1
 4   −1   0   2 
    
  
V = span 
 2  ,  3  ,  1  ,  3  gegeben ist.
4
0
0
5
Aufgabe 9.2. Wir betrachten den reellen Vektorraum V = Abb(N, R). Dieser Vektorraum ist kein anderer als der R-Vektorraum der Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass
die Menge
U = {a ∈ V | a(n + 2) = 5a(n + 1) − 6a(n) für alle n ∈ N}
ein Unterraum von V ist. Geben Sie eine Basis von U an!
Aufgabe 9.3. Vervollständigen Sie die Matrix A ∈ Mat(3 × 4, F101 ), so dass die resultierende Matrix den Rang eins hat!


13 99 1
3 
A=
43 75
Begründen Sie Ihre Lösung.
Aufgabe 9.4. Sei V ein K-Vektorraum. Als Kette von Unterräumen der Länge n bezeichnen wir eine Folge von Unterräumen Vi ⊂ V mit echten Inklusionen
0 $ V1 $ V2 $ . . . $ Vn .
Zeigen Sie die Aussagen:
(i)
(3 Punkte) Ist V ein Vektorraum der Dimension n, so besitzt V ein Kette von
Unterräumen der Länge n.
(ii) (3 Punkte) Besitzt V ein Kette von Unterräumen der Länge m, so gilt
dim(V ) ≥ m.
(iii) (4 Punkte) Die Dimension von V ist die maximale Länge einer Kette von
Unterräumen von V .
Abgabe: Bis Montag, 14. Juni 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 10.1. Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung zwischen
reellen Vektorräumen? Begründen Sie
 Ihre Antwort!

x+y
x
(i) f : R2 → R3 mit f
=  x − y .
y
7y
(ii) g : R → R mit g(x) = 2x + 1.
(iii) h : R7 → {0}.
(iv) ρ : C → C mit ρ(z) = z̄.
(v)
ev3 : R[X] → R mit ev3 (
∂
∂X
i
i≥0 ai X ) =
P
∂
(
∂X
P
ai X i ) =
i≥0
3i ai .
iai X i−1 .
1
3
1
Aufgabe 10.2. Wir betrachten die Vekoren v1 =
, v2 =
und v3 =
2
−1
16
2
im Q-Vektorraum Q . Für welche rationale Zahl a gibt es eine lineare Abbildung
ϕ : Q2 → Q mit ϕ(v1 ) = 1, ϕ(v2 ) = 2 und ϕ(v3 ) = a.
(vi)
: R[X] → R[X] mit
P
i≥0
P
i≥1
Aufgabe 10.3. Wir betrachten die vier linearen Abbildungen ϕi : R2 → R2 , die durch
x + 2y
x
x
x
=
=
ϕ2
ϕ1
y
y
y
2x + y
x
2x + 2y
x
4x + y
ϕ3
=
ϕ4
=
y
x + 4y
y
2x + 3y
gegeben sind. Sind die vier Vektoren {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ϕ4 } im Vektorraum HomR (R2 , R2 ) linear
abhängig?
Aufgabe 10.4. Wir betrachten den reellen Vektorraum V = R[X]. Zeigen Sie, dass
U = {f ∈ V | f (−1) = f (0) = f (1) = 0 } ein Untervektorraum ist und geben Sie die
Dimension des Quotientenraumes V /U an!
Abgabe: Bis Montag, 21. Juni 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 11.1. Wir betrachten die lineare Abbildung ϕ : Q2 → Q4 , die durch


x

y 
x

ϕ
=

x+y 
y
x−y
gegeben ist. Geben Sie die zugehörige Abbildungsmatrix an!
Es ist keine Begründung erforderlich!
Aufgabe 11.2. Wir betrachten die beiden Basen A = {2X 2 + 3X + 4, 3X 2 − X, 4X 2 }
und B = {X 2 + X + 1, X − 3, 1} des R-Vektorraumes V der Polynome vom Grad kleiner
gleich zwei. Die Abbildung ϕ : V → V , die jedem Polynom seine Ableitung zuordnet ist
linear (siehe Aufgabe 10.1 (vi)).
Geben Sie die Abbildungsmatrix MBA (ϕ) an!
Aufgabe 11.3. Wir betrachten die beiden Matrizen.
cos(α) − sin(α)
cos(β) − sin(β)
A=
und B =
.
sin(α)
cos(α)
sin(β)
cos(β)
(i)
(ii)
(3 Punkte) Berechnen Sie das Produkt A · B der Matrizen.
(2 Punkte)
Vergleichen Sie das Produkt
A · B mit den Matrizen B · A und
cos(α + β) − sin(α + β)
C=
.
sin(α + β)
cos(α + β)
(iii) (2 Punkte) Beschreiben Sie die lineare Abbildung ϕA : R2 → R2 , die durch A
beschrieben wird.
1 0
(iv) (3 Punkte) Für welche Werte von β gilt A · B =
.
0 1
Aufgabe 11.4. Wir betrachen die reelle 3 × 3-Matrix


−7 −12 10
A =  −6 −13 10  .
−12 −24 19
Berechnen Sie die Matrixpotenz A2010 = A · A · . . . · A, wobei die Matrix A genau 2010-mal
vorkommt.
Abgabe: Bis Montag, 5. Juli 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 12.1. Wir betrachen die reelle 3 × 3-Matrix


−1 1 1
A =  −6 3 4  .
0 1 0
Berechnen Sie das Inverse der Matrix A. Dabei sollte erkennbar sein, wie Sie auf A−1
kommen.
Aufgabe 12.2. Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix


1 −1
0
1

2 −1 −2
2 
.
A=
 −10
7
7 −3 
2 −3 −2
4
Entscheiden Sie dann, ob A invertierbar ist.
Aufgabe 12.3. Die Matrix A ∈ Mat(3 × 3, Q) sei durch


1 −2 2
A =  2 −3 2 
2 −2 1
gegeben. Schreiben Sie A als Produkt von Elementarmatrizen Si (λ), Qji (λ) und Pij .
Aufgabe 12.4. Die Matrix A ∈ Mat(3 × 3, C) sei durch

 
 
 
 

1 0 0
1 0 0
1 0 0
3 0 0
1 0 0
A =  0 1 2 · 0 2 0 · 0 0 1 · 0 1 0 · 0 1 0 
0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 0 1
1 0 1
gegeben. Berechnen Sie A−1 und die Determinante von A.
Abgabe: Bis Montag, 12. Juli 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen! Bei mehr als einem Blatt muss geklammert werden!
Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 13.1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix


1 0 1 0 −1
 3 2 2 3 1 


 4 0 4 0 2 .


 2 0 1 1 −2 
−1 0 3 0 11
Aufgabe 13.2. Die Vandermonde Determinante
Es sei K ein Körper, m eine positive ganze Zahl und für i = 1, . . . , m seien Elemente
xi ∈ K gegeben. Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = (aij ) mit aij = xij−1 .
Folgern Sie, dass es für alle bi ∈ K (mit i = 1, . . . , m) ein Polynom f vom Grad kleiner
m gibt mit f (xi ) = bi , wenn xi 6= xj für i < j.
Aufgabe 13.3. Sei p eine Primzahl.
(i)
Wieviele Elemente hat die Gruppe GL2 (Fp ) der invertierbaren Matrizen mit
Elementen aus dem endlichen Körper mit p Elementen?
(ii) Wieviele Basen besitzt der Vektorraum F3p .
(iii) Beweisen Sie, dass GL2 (F2 ) isomorph zur Gruppe S3 ist.
Aufgabe 13.4. Zeigen Sie, dass die Abbildung
ψ : Sm → GLm (R) ψ(ρ) = Aρ = (δiρ(j) )
ein Gruppenhomomorphismus ist. Berechnen Sie ferner det(ψ(ρ)).
Diese Aufgaben werden zwar besprochen, aber nicht korrigiert.