Bedingte Wahrscheinlichkeit

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
1. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Definition Ist F ein zufälliges Ereignis mit P (F ) > 0, so ist die bedingte Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses E unter der Bedingung/Voraussetzung
F gegeben durch
P (E ∩ F )
P (E|F ) =
.
P (F )
Zwei Ereignisse E und F nennt man unabhängig, falls P (E ∩ F ) = P (E) · P (F )
gilt, ansonsten nennt man E und F abhängig.
Bemerkungen:
(1) Sind E und F unabhängig, so auch F und E.
(2) Sind E und F disjunkt, d.h. ist E ∩ F = ∅, so folgt, dass E und F abhängig
sind, falls P (E) > 0 und P (F ) > 0.
Für ein Ereignis F ⊂ Ω ist Ω die disjunkte Vereinigung Ω = F ∪˙ F , also E =
˙
˙ ) = (E ∩ F )∪(E
∩ F ) und daher P (E) = P (E ∩ F ) + P (E ∩ F )
E ∩ Ω = E ∩ (F ∪F
für jedes Ereigneis E ⊂ Ω.
Sn
Ganz allgemein nennt man paarweise disjunkte Mengen F1 , . . . , Fn mit Ω = S i=1 Fi
n
eine Zerlegung von Ω. Jedes Ereignis E kann dann zerlegt werden in E = i=1 Ei
mit Ei = E ∩ Fi und es gilt analog
n
n
n
[
X
X
P (E) = P ( Ei ) =
P (Ei ) =
P (E ∩ Fi ).
i=1
i=1
Wegen E ∩ Fi = Fi ∩ E und P (E|Fi ) =
hat man den
P (E∩Fi )
P (Fi )
i=1
bzw. P (E ∩ Fi ) = P (E|Fi ) · P (Fi )
Satz (von
Snder totalen Wahrscheinlichkeit)
Ist Ω = i=1 Fi eine Zerlegung und P (Fi ) > 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}, so gilt für
jedes zufällige Ereignis E
n
X
P (E) =
P (E|Fi ) · P (Fi ).
i=1
Oft sind die Wahrscheinlichkeiten P (E|Fi ) leicht zu ermitteln, nicht aber P (E)
oder P (Fi |E). Für den letzteren Fall liefert der Satz von Bayes die folgende Bestimmungsmöglichkeit
Satz (von Bayes)
Sn
Es sei E ein Ereignis mit P (E) > 0 und Ω = i=1 Fi eine Zerlegung von Ω mit
P (Fi ) > 0 für alle i ∈ {1, . . . , n}. Dann gilt
P (Fi |E) =
P (E|Fi ) · P (Fi )
P (E|Fi ) · P (Fi )
= Pn
.
P (E)
j=1 P (E|Fj ) · P (Fj )
Bemerkung Würden wir im Fall P (F ) = 0 die bedingte Wahrscheinlichkeit
P (E|F ) durch P (E|F ) = 0 definieren, so könnten wir in den obigen Sätzen die
Bedingungen P (Fi ) > 0 weglassen.