Tutorium (08.05.2017)

Tutorium (08.05.2017)
Aufgabe 1. Sei (G, ∗) eine Gruppe. Das Zentrum Z(G) von G ist definiert durch
Z(G) = {z ∈ G | ∀g ∈ G : g ∗ z = z ∗ g}.
(a) Zeigen Sie, dass Z(G) eine Untergruppe von G ist.
(b) Handelt es sich bei Z(G) um eine abelsche Gruppe?
(c) Wie sieht das Zentrum einer abelschen Gruppe aus?
Aufgabe 2. Betrachten Sie die Gruppe (S3 , ◦) mit den
1 2 3
1 2
π1 =
π2 =
1 2 3
1 3
1 2 3
1 2
π4 =
π5 =
2 3 1
3 1
Bezeichnungen:
3
1
π3 =
2
2
3
1
π6 =
2
3
2
1
2
2
3
3
3
1
(a) Handelt es sich bei {π1 } bzw. S3 um Untergruppen?
(b) Handelt es sich bei {π1 , π4 , π5 } um eine Untergruppe?
(c) Gibt es zweielementige Untergruppen? Wenn ja, nennen Sie alle.
(d) Wie sieht das Zentrum von (S3 , ◦) aus?
Aufgabe 3. Berechnen Sie die Beträge bzw. schreiben Sie die komplexen Zahlen in der Form
z = a + i · b mit a, b ∈ R.
17 − i 4+8·i
c)
a) (4 + 8 · i) · (3 − 2 · i)2
b)
1+i (3 + 2 · i)2
!3 √
1 + i 2 3
1
1
e) f) − +
· i d) 3+7·i
1−i
2
2
√
2 · 6 − i
7+5·i
5 · (i + 1)
20
h)
+
i) g)
2+3·i i−1
3−4·i
4+3·i
Aufgabe 4. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch? Begründen Sie!
2
2
b) Im(i · z) = Re(z)
c) z 2 = (z̄)2
d) Re(7 + 13 · i) = 7
e) Im(7 + 13 · i) = 13 · i
f) z = 0 ⇔ Re(z) = 0
g) |z 2 | = |z|2
h) Re(i · z) = Im(z)
i) Re(i · z̄) = Im(z)
a) |z| = Re(z) + Im(z)
j) 2 · Im(z) = z − z̄
Aufgabe 5. Veranschauchlichen Sie nachfolgende Mengen in der komplexen Zahlenebene.
3
A := {z ∈ C | |z| = 2.5}
B := z ∈ C | |z − 1| =
2
1
C := z ∈ C | |z + 2 − 2 · i| ≤
D := {z ∈ C | 2 · Re(z) − Im(z) = 0}
2
E := {z ∈ C | Re(z) = 3}
F := {z ∈ C | Im(z) ≥ 2, Re(z) < −1}