¨Ubungen zur Linearen Algebra I

Georg Hein
Sommersemester 2010
Übungen zur Linearen Algebra I
Aufgabe 4.1. Geben Sie alle Gruppenhomomorphismen zwischen den beiden vierelementigen Gruppen G1 und G2 an, die durch ihre Gruppentafeln nachfolgend gegeben
sind.




◦ e a b c
◦ e a b c
 e e a b c 
 e e a b c 






G2 = 
G1 = 
 a a e c b .
 a a b c e 
 b b c e a 
 b b c e a 
c c e a b
c c b a e
Aufgabe 4.2. Wir betrachten die Gruppe G = R \ {0} der von Null verschiedenen reellen
Zahlen mit der Gruppenoperation Multiplikation. Welche der folgenden Teilmengen U ⊂
G sind eine Untergruppe. Begründen Sie Ihre Aussagen!
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(1
(1
(2
(2
(2
(2
Punkte)
Punkte)
Punkte)
Punkte)
Punkte)
Punkte)
U1
U2
U3
U4
U5
U6
= {u ∈ G | u > 0}.
= {u ∈ G | u > 21 }.
= {u ∈ G | |u| = 1}.
= {u ∈ G | u ∈ Q}.
= {u ∈ G | ln(|u|) ∈ Q}.
= {u ∈ G | u > 0 und ln(u) ∈ Z}.
Aufgabe 4.3. Geben Sie Menge aller natürlichen Zahlen n ∈ N an, für die eine Untergruppe von S4 mit n-Elementen existiert! Begründen Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 4.4. Die Automorphismengruppe Sei G eine Gruppe.
ϕ
(i) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass Aut(G) := {G → G | ϕ ist Isomorphismus} eine
Gruppe ist.
α
(ii) (4 Punkte) Zeigen Sie, dass G → Aut(G) mit g 7→ αg mit αg (h) = g ◦ h ◦ g −1
ein Gruppenhomomorphismus ist.
(iii) (je zwei Punkte) Berechnen Sie den Gruppenhomomorphismus α aus (ii) für
die beiden Gruppen G1 = Z/6Z und G2 = S3 .
Abgabe: Bis Montag, 10. Mai 10 Uhr, in das Fach 2 bei Raum T03 R03 D09.
Bitte schreiben Sie Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Übungsgruppe auf Ihre
Lösungen!