10.¨Ubungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie Anne Henke, WS
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10.Übungsblatt zur Elementaren Zahlentheorie Anne Henke, WS 2016/17 1. (a) Benutzen Sie den Euklidischen Algorithmus, um den ggt(210,45) zu berechnen. Folgern Sie hieraus die Kettenbruchentwicklung 45 von 210 45 . Berechnen Sie auch den Kettenbruch von 210 . (b) Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Kettenbruchentwicklung eines gekürzten Bruches ab und seines Kehrwertes ab ? Begründen Sie Ihre Antwort. 2. (a) Formen Sie die Kettenbrüche h2, 1, 4i, h−3, 2, 12i und h0, 2, 1, 2, 6i in gewöhnliche Bruchzahlen um. (b) Seien b, c, d gegebene natürliche Zahlen mit c > d. Beweisen Sie, dass für alle ganzzahligen a gilt: ha, ci < ha, di und ha, b, ci > ha, b, di. Wie lautet die Bedingung, so dass für natürliche Zahlen c und a0 , a1 , . . . , an gilt: ha0 , a1 , . . . , an i > ha0 , a1 , . . . , an +ci? Begründen Sie Ihre Antwort. 3. Sei x = ha0 , a1 , . . . , an i ein einfacher Kettenbruch. Wir bezeichnen mit pn = pn (a0 , a1 , . . . , an ) und qn = qn (a0 , a1 , . . . , an ) den Zähler beziehungsweise den Nenner des Bruchs, den man erhält, wenn man x als gewöhnlichen Bruch schreibt. Zeigen Sie, dass gilt: pn = han , an−1 , . . . , a1 , a0 i. pn−1 Bestimmen Sie den Kettenbruch, der zu qn qn−1 gehört. 4. Sei x = ha0 , a1 , . . . , an i ein einfacher Kettenbruch. Es gelte die Bezeichnung aus Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie, dass man pn wie folgt berechnen kann: Man nehme das Produkt der Zahlen a0 , a1 , . . . , an und addiere zu diesem alle Produkte aus (n − 2) vielen Zahlen von a0 , a1 , . . . , an (ohne Wiederholung), bei dem Paare von aufeinanderfolgenden Zahlen ai , ai+1 weggelassen wurden, addiere zu diesem wiederum alle Produkte aus (n − 4) vielen Zahlen von a0 , a1 , . . . , an (ohne Wiederholung), bei dem zwei (nicht notwendigerweise aufeinander folgende) Paare von aufeinanderfolgenden Zahlen ai , ai+1 weggelassen wurden, und so weiter. Das leere Produkt wird hierbei als 1 definiert. (b) Zeigen Sie, dass die folgenden Gleichungen gelten: pn (a0 , a1 , . . . , an ) = pn (an , . . . , a1 , a0 ), pn (a0 , a1 , . . . , an ) = a0 · pn−1 (a1 , . . . , an ) + pn−2 (a2 , . . . , an ). 5. Berechnen Sie alle Näherungsbrüche von 77708431 2640858 .
