Pro–Informatik: Logik und Diskrete Mathematik 5. ¨Ubung SS 08

Pro–Informatik: Logik und Diskrete Mathematik
5. Übung
SS 08
Abgabe am 22.09.08 in der Vorlesung
Aufgabe 1:
Logik
6 Punkte
Wir betrachten die folgenden Prädikate wahlweise im Bereich der ganzen Zahlen Z
oder der rationalen Zahlen Q :
P (x, y, z) = ” x + y = z ” und Q(x, y, z) = ” x · y = z ”
Bestimmen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen und begründen Sie Ihre
Antwort wie im folgenden Beispiel: ∀x ∈ Z ∀z ∈ Z ∃y ∈ Z P (x, y, z) ist wahr.
Begründung: Seien x = a und z = b beliebige ganze Zahlen, dann wählen wir
y = b − a ∈ Z und erhalten mit P (a, b − a, b) wegen a + (b − a) = b eine wahre
Aussage.
Die Aussagen:
a) ∃z ∈ Z ∃x ∈ Z ∀y ∈ Z ¬P (x, 2y, z)
b) ∀x ∈ Q ∀z ∈ Q ∃y ∈ Q Q(x, y, z)
c) ∀x ∈ Q ∃y ∈ Q ∃z ∈ Q (x 6= 1 → P (x, y, z) ∧ Q(x, y, z))
Aufgabe 2:
Mengenfamilien
1 + 4 + 2 Punkte
cos
x
π
Gegeben sind die Mengen Ai = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 ∧ i ≤ y ≤ i · sin x
für i = 1, 2, . . . .
a) Skizzieren Sie (mit
die Mengen A1 , A2 und A3 .
S∞ der Hand)
T∞
b) Bestimmen Sie i=1 Ai und i=1 Ai . Begründen Sie Ihre Lösung (zumindest verbal, aber wenn Sie Punkt c beantworten können, sollte auch eine formale Begründung
möglich sein)!
c) Gegeben sind die folgenden Punkte in der Ebene: P = (0.1, 1000) , Q = (0.2, 0.0001)
. Bestimmen Sie (als Formel oder mit dem Taschenrechner als konkrete Werte) ein
m und ein n, so dass gilt : P ∈ Am und Q ∈ An .
Aufgabe 3:
Äquivalenzrelationen
6 Punkte
Bei gleichzeitiger Benutzung von zwei unterscheidbaren Würfeln (z.B. rot und blau),
so sind 36 verschiedene Würfe möglich die sich durch geordnete Paare (a1 , a2 ) ∈
{1, 2, . . . , 6} × {1, 2, . . . , 6} eindeutig darstellen lassen (a1 – die Augen auf dem roten
und a2 – die Augen auf dem blauen Würfel). Wir definieren in der Menge der Würfe
drei Äquivalenzrelationen R, S und T :
(a1 , a2 ) R (b1 , b2 ) ⇐⇒
a1 + a2 = b1 + b2
(a1 , a2 ) S (b1 , b2 ) ⇐⇒
|a1 − a2 | = |b1 − b2 |
(a1 , a2 ) T (b1 , b2 ) ⇐⇒ a1 + a2 + b1 + b2 ist eine gerade Zahl.
Bestimmen Sie für jede der drei Relationen die Anzahl der Äquivalenzklassen, und
fuer jede dieser Klassen ihre Größe (Anzahl ihrer Elemente) und benennen Sie jeweils
ein Repräsentantensystem.
(Probe: für jede Relation muß die Summe der Äquivalenzklassengrößen 36 ergeben)
Aufgabe 4:
Ordnungsrelationen
5 Punkte
Bestimmen Sie die folgenden Maxima, Minima, Suprema und Infima, falls sie existieren und kennzeichnen Sie nicht existierende Größen mit einem “n.e.”.
k
min({b,f,h,i})
i
f
j
g
d
max({a,b,h,i})
h
sup({a,c,e,f})
inf({f,h,j})
e
inf({d,e,f,i})
a
Aufgabe 5:
b
c
vollständige Induktion
4 Punkte
Beweisen Sie die folgende Aussage mit vollständiger Induktion:
Für jede natürliche Zahl n ist (n3 + 2n) durch 3 teilbar.
alternativ können Sie auch den etwas schwereren Beweis für die folgende Ausage
führen und dafür einen Zusatzpunkt bekommen:
Für jede natürliche Zahl n ≥ 1 ist 4n+1 + 52n−1 durch 21 teilbar.