Übungen zur Algebra und Diskreten Mathematik I Blatt 2 a ∗ b = |a

Fakultät für Mathematik
Fachgebiet Mathematische Informatik
Prof. Dr. dr. h. c. Heiner Gonska
Maria Rusu, M. Sc.
Mittwoch, 20. April 2011
Übungen zur Algebra und Diskreten Mathematik I
Blatt 2
Aufgabe 2.1 (1+2+2+1 Punkte). Es sei R∗ die Menge aller reellen Zahlen außer 0. Wir definieren
∗ über R∗ durch
a ∗ b = | a| b.
a) Zeigen Sie, dass ∗ eine assoziative binäre Verknüpfung über R∗ ergibt.
b) Zeigen Sie, dass ein linkes Einselement für ∗ und eine rechte Inverse für jedes Element in R∗
existieren.
c) Prüfen Sie, ob (R∗ , ∗) eine Gruppe bezeichnet.
d) Begründen Sie die Bedeutung dieser Aufgabe!
Aufgabe 2.2 (3+4 Punkte). a) Zeigen Sie, dass die Menge aller komplexen Zahlen vom Betrag
1 bezüglich der Multiplikation eine Gruppe bezeichnet.
b) Entscheiden Sie, ob alle n × n Matrizen, mit der Determinante entweder 1 oder −1, unter
Matrixmultiplikation eine Gruppe bilden.
Aufgabe 2.3 (2+2 Punkte). a) Es seien G eine abelsche Gruppe und cn = c ∗ c ∗ . . . ∗ c, für n
Faktoren c, mit c ∈ G und n ∈ Z+ . Geben Sie einen mathematischen Induktionsbeweis, so
dass
( a ∗ b)n = ( an ) ∗ (bn )
gilt, für alle a, b ∈ G.
b) Es sei G eine Gruppe. Zeigen Sie, dass, wenn ( a ∗ b)2 = a2 ∗ b2 für alle a, b ∈ G gilt, dann
a ∗ b = b ∗ a, für alle a, b ∈ G gilt.
Aufgabe 2.4 (4 Punkte). Es seien G eine Gruppe und a ein festes Element auf G. Zeigen Sie, dass
Ha := { x ∈ G | xa = ax }
einer Untergruppe von G bezeichnet.
Abgabetermin: Mittwoch, 27. April 2011 bis 09:00 Uhr, Postkasten, 4. Etage, Gebäude LE.