Algebra und Zahlentheorie

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Sommersemester 2012
Übungsblatt 2
11.04.2012
Algebra und Zahlentheorie
für Lehramt Gymnasium
Aufgabe 2.1:
Sei (G, ∗) eine Gruppe, und seien H und K Untergruppen von (G, ∗). Wir betrachten die
Menge HK := {a ∗ b | a ∈ H, b ∈ K}. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
(a) Der Schnitt H ∩ K ist eine Untergruppe von (G, ∗).
(b) Es ist HK genau dann eine Untergruppe von (G, ∗), wenn HK = KH gilt.
|H| · |K|
(c) Ist G endlich, so gilt |HK| =
.
|H ∩ K|
(Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung f : H × K → HK, (a, b) 7→ a ∗ b. Zeigen Sie, dass f −1 (a ∗ b) =
{(a ∗ c, c−1 ∗ b) | c ∈ H ∩ K} gilt.)
Aufgabe 2.2:
Seien (G1 , ∗1 ) und (G2 , ∗2 ) Gruppen. Wir betrachten die Menge G := G1 ×G2 und definieren
∗ : G × G −→ G,
((a1 , a2 ), (b1 , b2 )) 7−→ (a1 ∗1 b1 , a2 ∗2 b2 ).
(a) Zeigen Sie, dass (G, ∗) eine Gruppe ist. (G, ∗) heißt das (äußere) direkte Produkt
von G1 und G2 .
(b) Bestimmen Sie die Ordnung der folgenden Elemente in den angegebenen direkten
Produkten von Gruppen der Form (Z/mZ, +).
(i) ([2]4 , [6]9 ) in Z/4Z × Z/9Z
(ii) ([5]20 , [2]12 ) in Z/20Z × Z/12Z
(iii) ([8]60 , [14]35 ) in Z/60Z × Z/35Z
(c) Seien (G1 , ∗1 ) und (G2 , ∗2 ) zwei endliche Gruppen. Sei a1 ∈ G1 ein Element der Ordnung m1 , und sei a2 ∈ G2 ein Element der Ordnung m2 . Stellen Sie aufgrund Ihrer
Beobachtungen beim Lösen von Teilaufgabe (b) eine Vermutung auf, welche Ordnung
das Element (a1 , a2 ) in G1 × G2 hat. Versuchen Sie dann Ihre Vermutung zu beweisen.
Aufgabe 2.3:
(a) Zeigen Sie, dass alle Untergruppen von (Z, +) zyklisch sind.
(b) Für welche der folgenden natürlichen Zahlen m ist die Gruppe ((Z/mZ)× , ·) zyklisch?
(i) 9, (ii) 32 (iii) 50
Aufgabe 2.4:
(a) Finden Sie eine Untergruppe von (Z/462Z, +) mit genau 42 Elementen.
(b) Sei hai für a ∈ Z die von a erzeugte Untergruppe von (Z, +). Führen Sie die folgenden
Aufgaben für alle a, b ∈ {2, 7, 10} mit a 6= b aus.
(i) Überprüfen Sie, ob hai ∪ hbi eine Untergruppe von (Z, +) ist. Falls dies der Fall
ist, geben Sie ein Element in Z an, das diese Untergruppe erzeugt (vgl. Aufgabe
2.3(a)).
(ii) Finden Sie ein c ∈ Z mit hci = hai ∩ hbi.
(c) Seien nun a, b ∈ Z beliebig. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a und b ein die
Untergruppe erzeugendes Element von hai ∩ hbi.
Aufgabe 2.5:
Wir betrachten folgende
1 2 3
σ1 :=
5 8 3
1 2 3
σ3 :=
4 7 1
Permutationen in S8 .
4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
σ2 :=
6 1 4 7 2
6 3 8 5 2 7 4 1
4 5 6 7 8
3 2 8 5 6
Geben Sie die folgenden Permutationen wieder in 2-Zeilenschreibweise an.
(i) σ1 σ2
(ii) σ24
(iii) σ2−1
(iv) σ1 (σ2 σ3 )−1
Abgabe bis Donnerstag, den 19. April, 12 Uhr in die Briefkästen im Eingangsbereich
des Mathematikgebäudes.