p-adische Zahlkrper – Blatt 5

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Sommersemester 2013
p-adische Zahlkörper – Blatt 5
Besprechung voraussichtlich am 08.07.2013
Aufgabe 5.1
Sei K ein Körper, und seien ϕ, ψ ∈ D(K) Diagonalräume. Zeigen Sie: Ist ϕ ≅ ψ, so gilt
diskr(ϕ) = diskr(ψ).
Aufgabe 5.2
Sei K ein Körper, und seien a, b ∈ K̇. Zeigen Sie:
˙
(i) Die Menge der von Null verschiedenen Formwerte D([1,
a]K ) bildet eine Untergruppe
der multiplikativen Gruppe K̇.
˙
(ii) Auch D([1,
a, b, ab]K ) bildet eine Untergruppe von K̇.
Hinweis. (i) Betrachten Sie die 2-dimensionale K-Algebra A = K + Kα mit α2 = −a und
die Normabbildung A → K, x + yα ↦ (x + yα)(x − yα) = x2 + ay 2 . (ii) Betrachten Sie die
4-dimensionale K-Algebra A = K + Kα + Kβ + Kαβ mit α2 = −a, β 2 = −b, αβ = −βα und
die Normabbildung A → K, x + yα + zβ + wαβ ↦ (x + yα + zβ + wαβ)(x − yα − zβ − wαβ) =
x2 + ay 2 + bz 2 + abw2 .
Aufgabe 5.3
Sei K = Q2 . Zeigen Sie [1, 2, −5]K ≅ [1, 2, 3]K ≅ 6[1, 1, 1]K , und folgern Sie daraus, daß
die Diagonalräume [1, 1, 1]K und [1, 1, 1, 1]K anisotrop sind.
Aufgabe 5.4
Vervollständigen Sie die in der Vorlesung skizzierte Herleitung der dort angegebenen
Wertetabellen für die p-adische Hilbertverknüpfung. (Die Fälle p ∈ P mit p ≡4 3 und p = 2
wurden in der Vorlesung nicht komplett ausgeführt.)
Aufgabe 5.5
Der Primzahlsatz von Dirichlet besagt, daß jede arithmetische Folge a, a + b, a + 2b, . . .
mit a, b ∈ N teilerfremd unendlich viele Primzahlen enthält. Überlegen Sie, wie sich dieser
Satz bereits aus der folgenden schwachen Version folgern läßt: Sind a, b ∈ N teilerfremd,
dann existiert wenigstens ein q ∈ P mit q ≡b a.
Aufgabe 5.6
Begründen Sie, warum die folgende effektive Version des Satzes von Hasse und Minkowski
für Q richtig ist. Seien n ∈ N und a1 , . . . , an ∈ Z ∖ {0}. Der Diagonalraum ϕ = [a1 , . . . , an ]Q
ist isotrop genau dann, wenn die ‘lokalen’ Räume ϕp = [a1 , . . . , an ]Qp für die endlich vielen
p ∈ P mit p ∣ 2a1 ⋯an und p = ∞ isotrop sind.
Aufgabe 5.7
Entscheiden Sie, welche der folgenden Diagonalräume über Q isotrop sind:
[19, −28]Q , [13, −2, 20]Q , [1, 1, −3]Q , [3, −6, 9, −15]Q .
Aufgabe 5.8
Sei m ∈ N als Summe m = x2 + y 2 + z 2 von drei Quadraten rationaler Zahlen x, y, z ∈ Q
darstellbar. Beweisen Sie, daß m dann auch Summe von drei ganzen Quadraten ist.
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