4.1. Bruchterm (2.26.) 4.2. Symmetrien bei 4-Ecken

Theorie Mathematik
4.1.
Bruchterm (2.26.)
Seite 9
Bruchterme mit Variablen im Nenner sind nicht immer definiert, da unter Umständen der Nenner 0
sein kann.
Beispiel
4
x − 2
Wenn wir in diesen Term für x = 2 einsetzen, entsteht eine
Division durch Null!
Bei Berechnungen von Bruchtermen müssen wir demnach folgende Voraussetzungen festlegen: €
G = Grundmenge (Diese Werte sind für die Berechnung zugelassen)
D = Definitionsmenge (Damit schliessen wir alle unerlaubten Elemente der Grundmenge
aus).
Beispiel
4
x − 2
G=Q
D = Q \ {2} oder x ≠ 2
€
4.2.
Symmetrien bei 4-Ecken (3.21.)
-4/a-
Seite 73
Theorie Mathematik
4.3.
Gleichungen (3.11.)
Seite 25
Definitionsbereich
Lösung
Lösungsmenge
D = Q \ {2,3}
x=5
L = {5}
„Normale Gleichung“, L nicht eingeschränkt durch D.
D = Q\ {2,3}
x=2
L={}
Die Lösung der Gleichung wird in D ausgeschlossen ==> die Lösungsmenge ist leer.
D = Q I.
2x − 14
x − 7 =
2
II.
x − 7 = x − 7
III.
7 = 7
L=D
Die Auflösung der Gleichung führt früher oder später zu der Situation, dass auf beiden Seiten
des Gleichheitszeichens der€gleiche Term steht (III). Dies ist ein Hinweis darauf, dass L = D
sein könnte. Diese Erkenntnis sollte überprüft werden, indem man den vorherigen Schritt (II)
beurteilt und ein Zahlenbeispiel macht.
5
5
=
− 4
x − 2
x − 2
D=Q
L = { }
x = x + 2
Wir finden keine Zahl, welche diese Gleichung zum stimmen bringt! Die rechte Seite ist immer
um 2 grösser. Daraus folgt:
€ L = leere Menge (kein Element)
Ungleichungen
Bei der Multiplikation bzw. Division einer Ungleichung mit einer negativen Zahl muss das
Ungleichheitszeichen umgekehrt werden.
Ungleichungsketten
Ungleichungsketten müssen immer aufgeteilt werden und als zwei Gleichungen betrachtet werden. Die Lösungsmenge ist die Schnittmenge der beiden Teillösungen.
2x + 3 > x + 2 > 5
2x + 3 > x + 2
x + 2 > 5
€
x > −1
x > 3
L 1 = {0, 1, 2, 3, …}
L 2 = {4, 5, 6, …)
L = L1 I L 2 = {4, 5, …}
€
€
€
-4/b-
Theorie Mathematik
Berechnung bei „Leistungsaufgaben“
Seite 38
Eine Wasserleitung füllt einen Brunnen in 3 Stunden. In Zahlen wird dies wie folgt ausgedrückt:
1
x
=
3
3
x •
€Zeit
Leistung (Arbeit pro Zeit)
„Die Leitung füllt in einer Stunde
1•
1
=
3
nach 1 h ist
2 •
1
=
3
nach 2 h ist
2
3
3 •
1
=
3
nach 3 h ist
3
3
1
3
1
3
des Brunnens.“
des Brunnens gefüllt.
€des
Brunnens gefüllt.
des Brunnens gefüllt.
0 +
Brunnen leer
Zuleitung 2
Zuleitung 1
Beispiel
€
Ein Brunnen kann durch 2 Zuleitungen gefüllt werden. Die erste Zuleitung füllt ihn allein in 6 h,
die zweite in 10 h. Wie lange dauert die Brunnenfüllung, wenn die Zuleitungen gleichzeitig geöffnet werden und der Brunnen zu Beginn leer war?
x
x
+
= 1
6
10
Brunnen voll
1+
Brunnen voll
Ab
Beispiel
€
Ein Brunnen wird durch eine Zuleitung in 5 Stunden gefüllt und durch einen Abfluss in 4 Stunden geleert. Wie lange dauert es, bis der volle Brunnen geleert ist, wenn Zufluss und Abfluss
geöffnet sind?
Zu
4.4.
x
x
−
= 0
5
4
Brunnen leer
-4/c-
€
Theorie Mathematik
4.5.
Winkel am Kreis
Seite 82
Peripheriewinkel
C
ε
2
M
€
B
ε
ε
A
€2
Zentriwinkel
Sehnen-Tangenten-Winkel
€
Ein Peripheriewinkel hat die halbe Weite des Zentriwinkels über dem gleichen
Bogen.
Der Sehnen-Tangenten-Winkel hat dieselbe Weite wie der Peripheriewinkel
über dem gleichen Bogen.
Peripheriewinkel oben
C
ε
2
M
€
B
ε
180° −
A
ε
ε
2
€2
€
Sehnen-Tangenten-Winkel
€
Peripheriewinkel unten
Zur Sehne AB gibt es zwei verschiedene Arten von Peripheriewinkeln. Ihre
Scheitel liegen entweder
- auf
€ der Seite von M („Peripheriewinkel oben“) oder
- auf der entgegengesetzten Seite von M („Peripheriewinkel unten“).
-4/d-
Theorie Mathematik
4.6.
Sehnenviereck (4.5.)
Seite 88
Im Sehnenviereck ist die Summe zweier Gegenwinkel immer 180°.
α + χ = β + δ = 180°
€
4.7.
Tangentenviereck
Seite 88
Im Tangentenviereck ist die Summe der Gegenseiten gleich gross.
a + c = b + d
€
-4/e-
Theorie Mathematik
4.8.
Zins (2.25.)
Seite 48
z = k ⋅ p ⋅ t
Faktor Zeit:
z
k
p
t
=
=
=
=
Zins (Prozentwert)
Kapital (Grundwert)
Zinsfuss (Prozentsatz)
Zeit
1 Jahr
==>
t=1
€
4.9.
5 Monate ==>
t=
5
12
23 Tage
t=
23
360
==>
Berechnung der Banktage:
€ rechnet man jeden Monat zu 30 d, das
Im Bankwesen
ganze Jahr zu 360 d. Der erste Tag wird nicht gezählt,
€letzte. Der Monatsletzte gilt immer als der 30.
wohl aber der
Tag des Monats.
Beispiele:
7. Mai - 12. Mai ==>
7. Mai - 31. Mai ==>
2. Feb. - 5. März ==>
Rundungsregel:
- Zinsen und Kapitalien auf 5 Rp.
- Kapitalien bei Zins / Zinsfuss / Zeitberechnung auf ganze
Franken
Verrechnungssteuer:
Wenn der Zinsertrag pro Jahr mehr als Fr. 50.- beträgt,
werden automatisch 35% des Zinsertrags als Steuern zurückbehalten. Nach der Deklaration des Gewinns in der
Steuererklärung, wird dieser Abzug wieder rückvergütet.
5d
23d
33d
Verkettung von Prozentrechnungen
Seite 56
Bei verketteten Prozentberechnungen wird das Resultat einer Berechnung als
Ausgangswert für die nächste Berechnung verwendet. So entsteht eine
„Kette“ von Prozentrechnungen.
Beispiele
Eine Schulklasse zählt 25 SchülerInnen. 60% davon sind Mädchen. 20% der
Mädchen tragen eine Brille. Wieviele Mädchen der Klasse tragen eine Brille?
25  ⋅0,6
→ 15  ⋅0,2
→ 3 Mädchen
Der Preis eines Fernsehers von 1‘420 Fr. wird zuerst um 10% gesenkt, dann
aber wieder
€
um 10% angehoben. Berechne den neuen Preis.
1420  ⋅0,9
→ 1278  ⋅1,1
→ 1405,8 Fr.
oder: 1420 ⋅ 0,9 ⋅ 1,1 = 1405,8 Fr.
-4/f-
€
Theorie Mathematik
4.10. Irrationale Zahlen / Reelle Zahlen (3.3.)
Seite 92
Unendliche, nicht periodischer Dezimalbrüche, sind irrationale Zahlen I. Sie
können auf dem Zahlenstrahl abgebildet werden.
1
Beispiel
€
2 = 1,41421356… ist ein nichtperiodischer,
nichtabbrechender Dezimalbruch. Es ist eine irrationale Zahl, welche auf dem Zahlenstrahl abgebildet
werden kann.
2
1
€
2
Alle Zahlen, welche auf dem Zahlenstrahl abgebildet sind, heissen reelle
Zahlen R.
€
Q
No
N
Z
€
€
Irrationale Zahlen
p
q
2
R eelle Zahlen
4.11. Rechnen mit Quadratwurzeln
Seite 101
Die Quadratwurzel aus der Zahl a (man schreibt: a ) ist diejenige positive
Zahl b, die mit sich selbst multipliziert wieder a ergibt.
a = b
Regeln
⇒
b ⋅ b = a
€
€
20 + 5 ≠
20 +
5
20 − 5 ≠
20 −
5
20 ⋅ 5 =
20 ⋅
5
32 ⋅ 8 = 32 ⋅ 8 = 256 = 16
20 : 5 =
20 :
5
200 = 100 ⋅ 2 = 10 ⋅ 2
20
=
5
Beispiele
25s 2 = 5s
0,16x6
= 0,4x 3
x
=
4
20
5
x2
=
2
€
-4/g-
€
x
=
4
x2
2
=
x
2
x
2
=
x⋅ 2
2⋅ 2
=
x⋅ 2
2
Theorie Mathematik
4.12. Der Satz des Pythagoras
Seite 96
Im rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates
gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.
a 2 + b 2 = c2
€
c 2 = a 2 + b2 ⇒ c =
a 2 + b2
a 2 = c 2 − b2 ⇒ a =
c 2 − b2
b 2 = c2 − a 2 ⇒ b =
c2 − a 2
€
4.13. Berechnung von geometrischen Körpern (2.37.)
Seite 117
Prismen und Zylinder
Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten und
parallelen Vielecken begrenzt wird. Die zwei Vielecksflächen
nennt man Grund- und Deckfläche.
Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei kongruenten und
parallelen Kreisen begrenzt wird.
Prisma
Zylinder
Pyramiden und Kegel
Eine Pyramide ist ein Körper mit einem Vieleck als Grundfläche und dreieckigen Seitenflächen, welche in einer Spitze
zusammenlaufen.
Ein Kegel ist ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche. Die
ine eine Spitze zulaufende Mantelfläche wird von einem
Kreissektor gebildet.
Pyramide
-4/h-
Kegel
Theorie Mathematik
4.14. Formeln für die Berechnung geometrischer Körper
Prisma
Volumen
V = G⋅h
Zylinder
Pyramide
V = G⋅h
V=
G⋅h
3
= π⋅r ⋅h
€
€
Oberfläche O = 2 ⋅ G +M O = 2 ⋅ G +M
€
O = G +M
G⋅h
3
π ⋅ r2 ⋅ h
3
O = G +M
2
2
= π ⋅ rG + π ⋅ rM ⋅
2
= 2 ⋅ π ⋅ r + 2 ⋅ π ⋅r ⋅ h
€
V=
=
2
€
Kegel
€
€
€
Oberfläche O (Netz) der Pyramide
Oberfläche O (Netz) des Kegels
-4/i-
α
360°