Möglicher Lösungsweg

5-EURO GEDENKMÜNZE
ab Ende der 9. Schulstufe
5-Euro Gedenkmünzen in Silber werden in Österreich auf Basis eines regelmäßigen
Neunecks ausgegeben.
Beispiel aus dem Jahre 2009 (Quelle:
Österreichische Nationalbank unter
http://www.oenb.at/de/img/dl_euromuenzen_in_oesterreich__ausgabe_2010_tcm14-190625.pdf - Seite 40)
„200. Todestag Joseph Haydn“
Ausgabedatum: 14. Jänner 2009
Auflage: 100.000 Handgehoben
450.000 Normalprägung
Durchmesser: 28,5 mm
Feingewicht: 8g
Legierung: 80,0 % Silber, 20,0 % Kupfer
Ein regelmäßiges Neuneck kann aber nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal
konstruiert werden. Für eine näherungsweise Konstruktion (ausschließlich mit Zirkel und
Lineal) gibt es viele Methoden. In der Literatur findet man zum Beispiel folgende Idee:
Der zur Konstruktion notwendige
Zentriwinkel AMB wurde hier
näherungsweise mit Hilfe eines
rechtwinkeligen Dreiecks mit den
Katheten AM  6 cm und AB  5 cm
konstruiert.
Wie groß ist der näherungsweise konstruierte Zentriwinkel AMB in dieser
Näherungskonstruktion und um wie viel Prozent weicht der näherungsweise konstruierte
Zentriwinkel AMB vom richtigen Zentriwinkel AMB ab?
Möglicher Lösungsweg
5
 AMB  39,805571
6
Exakter Zentriwinkel AMB  360 : 9  40
Anteil
AMB
p

 0,995139  Die Abweichung beträgt weniger als 0,5%.
Grundwert
40
tan(AMB) 
1
AUSSAGEN ÜBER LINEARE FUNKTIONEN
ab Ende der 9. Schulstufe
Kreuze in der Tabelle an, welche Aussagen bezüglich linearer Funktionen der Form
y  k  x  d wahr bzw. falsch sind.
A Jede lineare Funktion mit k  0 hat mit jeder Achse genau einen Punkt gemeinsam
(schneidet genau einmal).
B Jede lineare Funktion mit d  0 hat genau eine Nullstelle.
C Jede lineare Funktion lässt sich als direktes Verhältnis interpretieren.
D Jedes direkte Verhältnis lässt sich als lineare Funktion deuten.
E Der Graph einer linearen Funktion ist stets eine Gerade.
F Zu jeder Geraden im Koordinatensystem lässt sich eine lineare Funktion aufstellen.
Begründe alle Fälle, bei denen du dich für falsch entschieden hast.
Begründung
A
 wahr
 falsch
B
 wahr
 falsch
C
 wahr
 falsch
D
 wahr
 falsch
E
 wahr
 falsch
F
 wahr
 falsch
keine Hilfsmittel erforderlich
Aussagen über lineare Funktionen
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
Begründung
A
B
C
D
E
F
 wahr
 falsch
 wahr
 falsch
 wahr
 falsch
Lineare Funktionen mit der Gleichung y  d, d  0 haben keine
Nullstelle, daher falsch.
Bei einem direkten Verhältnis müsste d  0 sein, was nicht
angenommen werden kann, daher falsch.
 wahr
 falsch
 wahr
 falsch
 wahr
 falsch
Für Gerade, die parallel zur 2. Achse sind, lässt sich keine Funktion
finden, weil einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet sind.
Aussagen über lineare Funktionen
2
BAUSPAREN
ab Ende der 9. Schulstufe
Herr Karl hat in Mathematanien – ein Land das sich durch besonders einfache Zahlen
bei Rechnungen auszeichnet – einen Bausparvertrag beginnend mit 01.01.2010
abgeschlossen. Er bezahlt an jedem Monatsbeginn 1000 € ein, die Verzinsung erfolgt
vierteljährlich, d. h. am Ende der Monate März, Juni, September und Dezember mit
einem sagenhaften Zinssatz von jeweils 10%, die Zinsen werden mit der Einzahlung am
darauf folgenden Monatsersten gut geschrieben.
a) Stelle eine Tabelle auf, die für jeden Monatsanfang des Jahres 2010 den
Kontostand angibt.
b) Stelle den Kontostand graphisch so dar, dass der Kontostand für jeden Tag des
Jahres abgelesen werden kann.
c) Wie wirkt sich die vierteljährliche (halbjährlich, ganzjährig, monatlich) Verzinsung
am Graphen aus?
d) Welche Darstellungsform findest du für diese Funktion geeignet? Begründe deine
Aussage.
Möglicher Lösungsweg
a)
Datum
01.01.2010
01.02.2010
01.03.2010
01.04.2010
01.04.2010
01.05.2010
01.06.2010
01.07.2010
01.07.2010
01.08.2010
01.09.2010
01.09.2010
01.10.2010
01.11.2010
01.12.2010
01.01.2011
keine Hilfsmittel erforderlich
Bausparen
Einzahlung
1000,00
1000,00
1000,00
300,00
1000,00
1000,00
1000,00
630,00
1000,00
1000,00
1000,00
993,00
1000,00
1000,00
1000,00
1392,30
gewohnte Hilfsmittel möglich
Kontostand
1000,00
2000,00
3000,00
4300,00
5300,00
6300,00
7930,00
8930,00
9930,00
11923,00
12923,00
13923,00
15315,30
besondere Technologie erforderlich
1
b) Graphisch:
c) Der Sprung bei der Verzinsung ist größer als bei normalen Einzahlungen.
Vierteljährlich: 3 Sprünge unterscheiden sich von den anderen
Halbjährlich: nur ein Sprung ist größer
Ganzjährig: alle Sprünge sind gleich groß
Monatlich: die Sprünge werden immer größer
d) Mögliche Erläuterungen:
Der Kontostand kann aus der Tabelle am besten abgelesen werden, da muss
auch nichts mehr berechnet werden im Gegensatz zur verbalen Beschreibung, die
allerdings die Berechnung erklärt und so die Erstellung der Tabelle erst
ermöglicht. Aus dem Graphen können keine genauen Werte abgelesen werden, er
zeigt nur die ungefähre Entwicklung des Kontostandes.
Bausparen
2
BOOTSFAHRT
ab Ende der 9. Schulstufe
Die Physik verwendet zur Beschreibung von Bewegungen für die Größen Weg,
Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren (gerichtete Größen).
Damit können z.B. zwei Geschwindigkeiten, die gleichzeitig an einem Körper in
verschiedene Richtungen wirken, vektoriell addiert werden.

Ein Boot fährt mit einer Geschwindigkeit u 10 km/h von einem Flussufer zum anderen.



u steht normal zur Strömungsgeschwindigkeit v des Flusses, wobei v 5 km/h ist.
a) Bestimme graphisch die Richtung und den Betrag der tatsächlichen Geschwin
digkeit w des Bootes sowie den Winkel, den sie mit der Normalen zur
Strömungsrichtung einschließt. Kontrolliere deine Ergebnisse durch Rechnung.
b) Der Bootsmann möchte tatsächlich normal zur Strömungsrichtung fahren. Dazu
muss er etwas gegen die Strömungsrichtung steuern. Unter welchem Winkel muss
das Boot gegen die Strömung gesteuert werden, damit es den Fluss normal zur
Strömungsrichtung überquert? Löse graphisch und durch eine Rechnung.
keine Hilfsmittel erforderlich
Bootsfahrt
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg


a) u ... Geschwindigkeitsvektor des Boots, v ... Geschwindigkeitsvektor der Strömung


 0  5  5  
         w ,
10   0   10 

u  v  w,

 
 ( u, w )   , sin() 
v



w 125  5  5  11,18
5
5

 0,447    26,6
5
125
w
Das Boot fährt mit einer Geschwindigkeit von etwa 11,2 km/h in einem Winkel von
ungefähr 26,6° zur geplanten Fahrtrichtung (normal zur Strömung).
b)

cos(α ) 
v
5 1
  0,5  α  60
10
2
w


Das Boot muss in einem Winkel von 60° gegen die Strömung gesteuert werden,
um den Fluss normal zur Strömungsrichtung zu überqueren.
Bootsfahrt
2
FIEBERMESSUNG
ab Ende der 9. Schulstufe
In einem Krankenhaus wird normalerweise immer um 6 Uhr früh und um 11 Uhr vormittags
die Temperatur der Patienten/innen gemessen. Bei erhöhter Temperatur werden
zusätzliche Werte um etwa 16 Uhr und 19 Uhr erhoben. Untenstehende Grafik zeigt die
Temperaturwerte eines Patienten während der ersten 4 Tage.
a) Wie sind die Verbindungslinien zwischen den Messpunkten zu interpretieren?
b) Finde eine Begründung für diese Art der Messvorschrift.
c) Wie interpretierst du die letzten zwei Messpunkte und die Verbindungslinie?
Möglicher Lösungsweg
a) Z.B.: Die Verbindungslinien geben eine Tendenz der Fieberkurve wieder, es
können auf keinen Fall Zwischenwerte abgelesen werden.
b) Z.B.: Hat ein/e Patient/in Fieber liegen die Messpunkte 11 Uhr und 6 Uhr zu weit
auseinander, um den Verlauf einigermaßen genau wieder geben zu können.
c) Z.B.: Die Messung um 11 Uhr ist ausgefallen, der Patient dürfte fieberfrei geblieben sein, Zwischenwerte können nicht abgelesen werden.
keine Hilfsmittel erforderlich
Fiebermessung
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
FLÄCHENFUNKTION
ab Ende der 9. Schulstufe
Gegeben ist das Dreieck ABC, dessen Maße der Zeichnung zu entnehmen sind.
Bewegt man den Punkt D auf der Verbindungsgeraden zwischen A und C, so wird in
Abhängigkeit von der Strecke x eine Fläche mit dem Flächeninhalt F(x) erzeugt.
a) Stelle den Zusammenhang zwischen der Länge der Strecke x und dem Flächeninhalt F(x) der entstehenden Flächen in der nachfolgenden Tabelle dar.
x
F(x)
b) Stelle diesen Zusammenhang in dem oben angegebenen Diagramm dar. Beachte
dabei den Maßstab auf der 2. Achse.
c) Stelle die Funktionsgleichung für F(x) auf.
keine Hilfsmittel erforderlich
Flächenfunktion
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a)
x
0
1
2
3
4
5
6
F(x)
0,00
0,25
1,00
2,25
4,00
6,25
9,00
7
8
12,25 16,00
b)
c) Die Funktionsgleichung lautet y 
Flächenfunktion
x2
4
2
FÜLLKURVEN
ab Ende der 9. Schulstufe
Die dargestellten Rotationskörper werden über einen Zufluss, der eine konstante
Wassermenge pro Zeiteinheit garantiert, gefüllt. Dabei wird die Höhe des Wasserstandes abhängig von der Zeiteinheit gemessen und aufgezeichnet. Der entstehende
Graph wird Füllkurve genannt.
Ordne den Füllkurven durch Ankreuzen der richtigen Ziffern den zugehörigen Körper zu.
1
2
1
3
4
1
2
2
3
4
1
2
3
3
4
1
2
4
3
4
keine Hilfsmittel erforderlich
Füllkurven
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
1
1
2
3
4
1
2
2
3
4
1
3
2
3
4
1
2
4
3
4
Füllkurven
2
FUNKTIONSGRAPH – JA ODER NEIN
ab Ende der 9. Schulstufe
Sind die folgenden Darstellungen Graphen von reellen Funktionen f : x  f(x) ?
Kreuze an und begründe die Antwort.
Ja
Nein
Begründung:
Ja
Nein
Begründung:
Ja
Nein
Begründung:
Ja
Nein
Begründung:
keine Hilfsmittel erforderlich
Funktionsgraph – JA oder NEIN
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
Ja
Nein
Begründung:
Zu jedem x-Wert gibt einen
eindeutigen Funktionswert.
Ja
Nein
Begründung:
Zu den x-Werten (ausgenommen
x=4) gibt jeweils 2 Funktionswerte.
Ja
Nein
Begründung:
Zum x-Wert 2 existieren unendlich
viele unterschiedliche Funktionswerte.
Ja
Nein
Begründung:
Zu jedem x-Wert existiert ein
eindeutiger Funktionswert.
Funktionsgraph – JA oder NEIN
2
GLEICHUNG IN 2 VARIABLEN - LINEARE
FUNKTION
ab Ende der 9. Schulstufe
Unter welchen in der nachstehenden Tabelle angegebenen Bedingungen entspricht eine
Gleichung a  x  b  y  c , (a, b, c  R) einer linearen Funktion mit y  f(x) ?
Kreuze in der Tabelle an und begründe deine Entscheidung.
Falls es sich um eine Funktion handelt, gib die zugehörige Funktionsgleichung in der
Form y  k  x  d an und skizziere, wie der Graph aussehen könnte.
Lineare
Funktion
a0
b, c  0
 ja
 nein
b0
a, c  0
 ja
 nein
c0
a, b  0
 ja
 nein
a0
c0
b0
 ja
 nein
Funktionsgleichung
keine Hilfsmittel erforderlich
Gleichung in 2 Variablen - lineare Funktion
Graph
gewohnte Hilfsmittel möglich
Begründung
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
Lineare
Funktion
a0
b, c  0
 ja
 nein
Funktionsgleichung
y 
Graph
Begründung
Gerade muss parallel
zur 1. Achse sein.
Steigung: k  0
c
b
oder
b0
a, c  0
c0
a, b  0
Einem x-Wert werden
unendlich viele
y-Werte zugeordnet.
 ja
 nein
 ja
 nein
y 
Homogene lineare
Funktion, die durch
den Ursprung geht.
d0
a
x
b
oder
a0
c0
b0
 ja
 nein
Die Gerade liegt auf
der x-Achse.
y0
Gleichung in 2 Variablen - lineare Funktion
2
GLEICHUNGEN - GRAVITATION
ab Ende der 9. Schulstufe
Der Wikipedia-Artikel über Gravitation enthält folgenden Absatz:
Gemäß der newtonschen Gravitationstheorie erzeugt jede (schwere) Masse ein Gravitationsfeld, in
der allgemeinen Relativitätstheorie aber auch jede andere Energieform, also neben schweren
Massen auch Licht- und Gravitationsenergie.
Die Stärke der Gravitationsbeschleunigung g in einem durch schwere Massen erzeugten
Gravitationsfeld ist dabei zum einen der Größe der Masse M proportional, zum anderen dem
Quadrat des Abstandes r zum Mittelpunkt von M umgekehrt proportional. Für g gilt damit die
Definitionsgleichung
g  G
M
,
r2
in der G die newtonsche Gravitationskonstante ist, eine Naturkonstante, deren Wert man, sofern
die Werte der übrigen Größen durch Messung bekannt sind, durch Umformen obiger Gleichung
nach G bestimmen kann.
http://de.wikipedia.org/wiki/Gravitation (06.07.2010)
Um wie viel stärker oder schwächer ist die Gravitationsbeschleunigung g für einen
Körper mit doppelter Masse und halbem Abstand?
Möglicher Lösungsweg
gneu  G 
2M
r
 
2
2
 G
2 M
4  2 M
M
 G
 8  G  2  8  galt 
2
2
r
r
r
4
 Die Gravitationsbeschleunigung wächst auf das Achtfache.
keine Hilfsmittel erforderlich
Gleichungen - Gravitation
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
GLEICHUNGEN - HEFTE
ab Ende der 9. Schulstufe
Im Archiv einer Schule werden alle Mathematik-Schularbeitshefte einer bestimmten
Klasse aufbewahrt. Jede Schülerin/jeder Schüler hat genau ein Heft abgegeben; die
Hefte haben entweder 20 Blatt oder 40 Blatt.
Es sei z die Anzahl der Hefte mit 20 Blatt und v Anzahl der Hefte mit 40 Blatt.
z  v  25
Es gelten zwei Bedingungen:
20z  40v  660
a) Wie viele Schülerinnen und Schüler besuchen die erwähnte Klasse?
b) Wie viele Blatt Papier haben alle Mathematik-Schularbeitshefte dieser Klasse
zusammen?
c) Erweiterung
Ein Schüler möchte die oben gestellte Aufgabe lösen. Er macht jedoch einen
Angabefehler und schreibt in sein Heft die folgenden Bedingungen:
z  v  25
20z  40 v  650
Macht dieser Angabefehler für die Beantwortung der Fragen a) und b) einen
wesentlichen Unterschied?
Möglicher Lösungsweg
a) 25 Schülerinnen und Schüler besuchen die erwähnte Klasse
b) Alle Mathematik-Schularbeitshefte dieser Klasse haben zusammen 660 Blatt
Papier
c) Erweiterung
Es scheint zunächst, dass die Antworten 25 und 650 nach demselben Schema
gefunden werden können wie oben.
Man kann aber nur sagen: Wenn es Lösungen gibt, dann lauten sie 25 und 650.
Berechnet man mit einer geeigneten Methode die Anzahlen der beiden Heftsorten,
so erhält man im ersten Fall die Werte z = 17 und v = 8, im zweiten Fall, aufgrund
des „Angabefehlers“ jedoch die Werte z = 17,5 und v = 7,5. Für eine vernünftige
Lösung kommen halbe Hefte nicht in Frage, daher besitzt das geänderte
Problem keine Lösung.
Eine entsprechende Überlegung ist auch allgemein möglich, ohne die Werte von z
und v tatsächlich zu bestimmen.
keine Hilfsmittel erforderlich
Gleichungen-Hefte
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
GRAPH EINER LINEAREN FUNKTION
ab Ende der 9. Schulstufe
a) Zeichne den Graphen einer linearen Funktion mit einer negativen ganzzahligen
Steigung in das vorgegebene Koordinatensystem.
b) Wie lautet der Funktionsterm des von dir gezeichneten Graphen?
keine Hilfsmittel erlaubt
Graph einer linearen Funktion
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a)
b) f(x)   x  2
Graph einer linearen Funktion
2
GRAPHEN LINEARER FUNKTIONEN ERKENNEN
ab Ende der 9. Schulstufe
Welche der fünf Abbildungen stellen nicht Graphen einer linearen Funktion dar?
Begründe deine Meinung
Abb. 1
Abb. 2
Abb. 4
Abb. 3
Abb. 5
Möglicher Lösungsweg
Die Abbildung 2 stellt keinen Graphen einer Funktion dar, weil einem x-Wert unendlich
viele y-Werte zugeordnet sind.
Die Abbildung 4 stellt keinen Graph einer linearen Funktion dar, weil die Steigung nicht
gleich bleibt.
keine Hilfsmittel erforderlich
Graphen linearer Funktionen erkennen
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
GRAPHEN ZUORDNEN
ab Ende der 9. Schulstufe
Gegeben sind die Funktionen f1, f2, f3 und f4.
Ordne den gegebenen Graphen den jeweils entsprechenden Funktionsterm und alle zutreffenden Eigenschaften zu.
Kreuze deine Ergebnisse in
der Tabelle an.
a
,a>0
x
a
g2 ( x )  , a < 0
x
a
g3 ( x )  2 , a > 0
x
a
g4 ( x )  2 , a < 0
x
g1( x ) 
Der Graph ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.
Der Graph ist symmetrisch zum Nullpunkt.
Es gilt: f(-x) = -f(x).
Es gilt: f(x) = f(-x).
Für x > 0 ist f(x) > 0.
Für x > 0 ist f(x) < 0.
Für x < 0 ist f(x) > 0.
keine Hilfsmittel erforderlich
Graphen zuordnen
gewohnte Hilfsmittel möglich
f1
f2
f3
f4












































besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
f1
f2
f3
f4
















Der Graph ist symmetrisch bezüglich der y-Achse.




Der Graph ist symmetrisch zum Nullpunkt.


Es gilt: f(-x) = -f(x).






Es gilt: f(x) = f(-x).



Für x > 0 ist f(x) > 0.




Für x > 0 ist f(x) < 0.



Für x < 0 ist f(x) > 0.





a
,a>0
x
a
g2 ( x )  , a < 0
x
a
g3 ( x )  2 , a > 0
x
a
g4 ( x )  2 , a < 0
x
g1( x ) 
Graphen zuordnen

2
KRÄFTE
ab Ende der 9. Schulstufe



Drei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte F1 , F2 und F3 lassen sich durch

eine einzige am selben Punkt angreifende resultierende Kraft F ersetzen, die allein




dieselbe Wirkung ausübt wie F1 , F2 und F3 zusammen. Die Kraft F kann man mittels
Kräfteparallelogrammen konstruieren.



a) Gegeben sind drei an einem Punkt P angreifende Kräfte F1 , F2 und F3 .




Ermittle grafisch die resultierende Kraft F als Summe der Kräfte F1 , F2 und F3 .



b) Gegeben sind drei an einem Punkt P angreifende Kräfte F1 , F2 und F3 .




Ermittle grafisch die resultierende Kraft F als Summe der Kräfte F1 , F2 und F3 .
Interpretiere das Ergebnis.
keine Hilfsmittel erforderlich
Kräfte
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a)
b)

Interpretation: Der Betrag der resultierenden Kraft F ist null, die drei Kräfte
befinden sich im Gleichgewicht.
Kräfte
2
KRÄFTEPARALLELOGRAMM
ab Ende der 9. Schulstufe


Zwei an einem Punkt P eines Körpers angreifende Kräfte F1 und F2 lassen sich durch

eine einzige am selben Punkt angreifende resultierende Kraft F ersetzen, die allein



dieselbe Wirkung ausübt wie F1 und F2 zusammen. Die Kraft F kann man mittels eines
Kräfteparallelogramms konstruieren.


Gegeben sind zwei an einem Punkt P angreifende Kräfte F1 und F2 .



Ermittle grafisch die resultierende Kraft F als Summe der Kräfte F1 und F2 .
Möglicher Lösungsweg
keine Hilfsmittel erforderlich
Kräfteparallelogramm
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 1
ab Ende der 9. Schulstufe
Entnimm die Lagebeziehungen der durch die Strecken AB, CD, EF und GH bestimmten
Geraden aus der Zeichnung.
Kreuze in der Tabelle die richtige Lagebeziehung an.
gAB und gCD
gAB und gEF
gAB und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
gCD und gEF
gCD und gGH
gEF und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
Lagebeziehung von Geraden 1
1
Möglicher Lösungsweg
gAB und gCD
gAB und gEF
gAB und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
gCD und gEF
gCD und gGH
gEF und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
Lagebeziehung von Geraden 1
2
LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 2
ab Ende der 9. Schulstufe
Entnimm die Lagebeziehungen der durch die Strecken AB, CD, EF und GH bestimmten
Geraden aus der Zeichnung.
Kreuze in der Tabelle die richtige Lagebeziehung an.
Begründe deine Überlegungen.
gAB und gCD
gAB und gEF
gAB und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
gCD und gEF
gCD und gGH
gEF und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
keine Hilfsmittel erforderlich
Lagebeziehung von Geraden 2
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
gAB und gCD
gAB und gEF
gAB und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
gCD und gEF
gCD und gGH
gEF und gGH
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
 identisch
 schneidend
 parallel,
aber nicht
identisch
Mithilfe des vorgegebenen Rasters kann man die Steigung der Geraden bestimmen:
gAB: k AB 
3 1
  0,5
6 2
gCD: k CD 

4
 0, 4
9
gEF: k EF 
1
 0,5
2
gGH: k GH 
2,5
 0,5
5
Die Geraden gAB, gEF und gGH haben die gleiche Steigung. Sie sind also parallel oder
identisch. Mithilfe des Rasters erkennt man, dass die Geraden gAB und gEF identisch
sind und die Gerade gGH parallel dazu liegt.
Die Gerade gCD hat eine andere Steigung. Sie muss daher die drei Geraden gAB, gEF
und gGH schneiden.
Lagebeziehung von Geraden 2
2
LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 3
ab Ende der 9. Schulstufe
Kreuze alle richtigen Aussagen an und begründe sie.
Die Geraden
Aussagen
a)
 2
 3
g: X     s 
 1
 4
 
 
und
 4
 3
h: X     t  
 2
 4
 
 
 sind parallel, aber nicht
identisch.
 sind identisch.
 schneiden einander und
stehen aufeinander nicht
normal.
 schneiden einander und
stehen aufeinander normal.
b)
 2
 3
g: X     s 
 1
 4
 
 
und
 1 
1,5 

h: X     t 
 5
 2
 


 sind parallel, aber nicht
identisch.
 sind identisch.
 schneiden einander und
stehen aufeinander nicht
normal.
 schneiden einander und
stehen aufeinander normal.
c)
 2
 3
g: X     s 
 1
 4
 
 
und
 1 
6
h: X     t  
 2
8
 
 
 sind parallel, aber nicht
identisch.
 sind identisch.
 schneiden einander und
stehen aufeinander nicht
normal.
 schneiden einander und
stehen aufeinander normal.
d)
 2
 3
g: X     s 
 1
 4
 
 
und
 4
 2 

h: X     t 
 2
1,5 
 


 sind parallel, aber nicht
identisch.
 sind identisch.
 schneiden einander und
stehen aufeinander nicht
normal.
 schneiden einander und
stehen aufeinander normal.
keine Hilfsmittel erforderlich
Lagebeziehung von Geraden 3
gewohnte Hilfsmittel möglich
Begründung
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
Die Geraden
Aussagen
a)
 2
 3


g: X 
 s 
 1
 4
 
 
und
 4
 3
h: X     t  
 2
 4
 
 
 sind parallel, aber nicht Die Richtungsvektoren sind
identisch.
gleich und P(2|1)  h:
 sind identisch.
2
 schneiden einander und 2  4  3t  t  3
stehen aufeinander nicht
3
1  2  4t  t  
normal.
4
 schneiden einander und
Da der Parameter t verschiedene
stehen aufeinander normal.
Werte für die Koordinaten x und
y annimmt, sind die Geraden
nicht identisch.
b)
 2
 3


g: X 
 s 
 1
 4
 
 
und
1,5 
 1 



h: X 
 t 
 2
 5


 
 sind parallel, aber nicht
identisch.
 sind identisch.
 schneiden einander und
stehen aufeinander nicht
normal.
 schneiden einander und
stehen aufeinander normal.
c)
 2
 3
g: X     s 
 1
 4
 
 
und
 1 
6


h: X 
 t  
 2
8
 
 
d)
 2
 3
g: X     s 
 1
 4
 
 
und
 4
 2 

h: X     t 
 2
1,5 
 


Lagebeziehung von Geraden 3
Begründung
Die Richtungsvektoren sind
 1,5 
  3
parallel:    2    und
  2
 4
Q(1|5)  g:
 1  2  3s  s  1
5  1  4s  s  1
Da der Parameter s den gleichen
Wert für die Koordinaten x und y
annimmt, sind die Geraden
identisch.
 sind parallel, aber nicht Die Richtungsvektoren sind nicht
parallel, da der eine Vektor kein
identisch.
Vielfaches des anderen Vektors
 sind identisch.
 schneiden einander und ist.
stehen aufeinander nicht Da
das
skalare
Produkt
normal.
  3 6
 schneiden einander und  4    8   14  0 ist, stehen die
stehen aufeinander normal.    
Vektoren
nicht
aufeinander
normal.
 sind parallel, aber nicht Die Richtungsvektoren stehen
aufeinander normal:
identisch.
 sind identisch.
 2    3
 schneiden einander und 1,5    4   6  6  0
stehen aufeinander nicht    
normal.
 schneiden einander und
stehen aufeinander normal.
2
LAGEBEZIEHUNG VON GERADEN 4
ab Ende der 9. Schulstufe
Zwei Geraden im R2 sind entweder schneidend, parallel oder identisch.
5
3
Gegeben sind die Gerade g : X     t    und der Punkt P(-6|4)  g .
 2
 4
a) Gib eine Gleichung der Geraden h1 durch P an, die zu g parallel ist.
b) Gib eine Gleichung einer Geraden h2 durch P an, welche die Gerade g schneidet.
c) Gib eine Gleichung einer Geraden h3 durch P an, die mit g identisch ist.
d) Gib eine Gleichung der Geraden h4 durch P an, die normal auf g steht.
Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S.
Möglicher Lösungsweg
  6
3
  s   
a) z.B. h1 : X  
 4
 4
  6
 1
b) z.B. h2 : X     s   
 4
 4
3
Auch jeder zu   parallele Vektor ist möglich.
 4
3
Auch jeder zu   nicht parallele Vektor ist möglich.
 4
c) Dieser Fall ist für diese Angabe nicht möglich, da der gegebene Punkt P(-3|8)
nicht auf der Geraden g liegt.
  6
 4
  s   
d) z.B. h 4 : X  
 4
  3
 4
 parallele Vektor ist möglich.
Auch jeder zu 
  3
Berechnung des Schnittpunkts:
5
3   6
 4
   t        s   
 2
 4  4 
  3
5  3t  6  4s

2  4 t  4  3s
 50  25s  0  s  2
  6
 4  2
S     2      
 4
  3   2
Schnittpunkt S(2|2)
keine Hilfsmittel erforderlich
Lagebeziehung von Geraden 4
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
LINEARE FUNKTIONEN MIT GLEICHEM d
ab Ende der 9. Schulstufe
a) Zeichne drei verschiedene Graphen, die durch einen Funktionsterm der Form
f(x)  k  x  2 dargestellt werden.
b) Welche Wirkung hat eine Änderung des Parameters k auf den Graphen der
Funktion?
Möglicher Lösungsweg
a)
b) Eine Änderung von k bewirkt eine Drehung der Geraden um den Punkt (0|2)
(allgemein (0|d)).
oder: Eine Änderung von k bewirkt eine Änderung der Steigung.
keine Hilfsmittel erforderlich
Lineare funktionen mit gleichem d
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
LINEARE FUNKTIONEN MIT GLEICHEM k
ab Ende der 9. Schulstufe
a) Zeichne drei verschiedene Graphen, die durch einen Funktionsterm der Form
f(x) = 2x + d dargestellt werden.
b) Welche Wirkung hat eine Änderung des Parameters d auf den Graphen der
Funktion?
Möglicher Lösungsweg
a)
b) Eine Änderung von d bedeutet ein Parallelverschieben des Graphen durch den Punkt
(0d).
oder: Eine Änderung von d bewirkt einen anderen Abschnitt auf der 2. Achse.
keine Hilfsmittel erforderlich
Lineare Funktionen mit gleichem k
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
PARALLEL ODER NORMAL 1
ab Ende der 9. Schulstufe

 1
 .
Gegeben ist der Vektor a  
  4

Entscheide, ob die in der Tabelle angegebenen Vektoren zum Vektor a parallel, normal
bzw. weder parallel noch normal sind und kreuze die richtigen Antworten an.
parallel
normal
weder parallel
noch normal

  1

b  
4






 2
c   
  8



 4

d  
 1



  4

e  
  1



  1
f   
 4







Parallel oder normal 1
1
Möglicher Lösungsweg
parallel
normal
weder parallel
noch normal

  1

b  
  4



 2
c   
  8



 4

d  
 1



  4

e  
  1



  1
f   
 4







Parallel oder normal 1
2
PARALLEL ODER NORMAL 2
ab Ende der 9. Schulstufe

 1
 .
Gegeben ist der Vektor a  
  4

Entscheide, ob die in der Tabelle angegebenen Vektoren zum Vektor a parallel, normal
bzw. weder parallel noch normal sind und kreuze die richtigen Antworten an.
Begründe deine Entscheidungen rechnerisch.
parallel
normal
weder
parallel noch
normal

  1

b  
  4



 2
c   
  8



 4

d  

1





  4

e  
  1



  1
f   
 4







keine Hilfsmittel erforderlich
Parallel oder normal 2
gewohnte Hilfsmittel möglich
Begründung
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
parallel
normal
weder
parallel noch
normal
Begründung

  1

b  
  4



 1
  1

  v  

  4
  4
 1    1

  
  1  16  15  0
  4   4
 2
c   
  8



 1
 2

  0,5   
  4
  8

 1
 4

  v   
  4
  1
 1  4 

  
  4  4  8  0
  4  1

 4

d  
 1



  4

e  
  1



  4
 1


  v  
  1
  4
 1    4
  4  4  0

  
  4    1
  1
f   
 4



 1
  1

  1  
  4
 4


Parallel oder normal 2
2
PARALLEL ODER NORMAL3
ab Ende der 9. Schulstufe

Gegeben ist der zweidimensionale Vektor a .


Wie überprüfst du, ob ein Vektor b zum Vektor a parallel, normal bzw. weder parallel
noch normal ist?
Möglicher Lösungsweg





 

Ein Vektor b ist zum Vektor a parallel, wenn gilt: a  v  b .
Ein Vektor b ist zum Vektor a normal, wenn gilt: a b  0 .




Ein Vektor b ist zum Vektor a weder parallel noch normal, wenn gilt: a  v  b und
 
a b  0
Parallel oder normal 3
1
PARALLEL ODER SCHNEIDEND 1
ab Ende der 9. Schulstufe
3
  2
  3
 a

Gegeben sind die Geraden g: X     t    und h: X     s  
 2
 1
  1
  2
Gib jeweils eine reelle Zahl a an, sodass die Geraden
a) parallel sind.
b) schneidend sind.
Möglicher Lösungsweg
a  2 t
 a
  2
  t    
a) 
 a4
2 t
  2
 1
b) a  R\ {4}
Anmerkung: Alle Werte außer a = 4 sind richtig zu werten.
keine Hilfsmittel erlaubt
Parallel oder schneidend 1
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
PARALLEL ODER SCHNEIDEND 2
ab Ende der 9. Schulstufe
Zwei Geraden im R2 sind entweder schneidend, parallel oder identisch.
3
  2
  3
 u
Gegeben sind die Geraden g: X     t    und h: X     s    .
 2
 1
  1
  2
Gibt es Zahlen u  R , sodass die Geraden g und h
a) parallel, aber nicht identisch sind?
b) schneidend sind?
c) identisch sind?
Gib jeweils alle Möglichkeiten für die Zahl u an. Begründe deine Entscheidungen.
Möglicher Lösungsweg
a) Die Geraden sind parallel, aber nicht identisch, wenn die Richtungsvektoren
parallel sind und der gegebene Punkt der Geraden h nicht auf der Geraden g liegt.
Nachweis der Parallelität der Vektoren:
u  2 t
 u
  2
   t    
 u4
2 t
  2
 1
Für u = 4 sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel.
Überprüfung der Identität: P(3|1) in g einsetzen:
 3  3  2t
t3
  3 3
  2
      t    

 Pg
1 2  t
t  3
  1  2 
 1
Das heißt für u = 4 sind die Geraden parallel, aber nicht identisch.
b) Damit die Geraden einen Schnittpunkt haben dürfen die Richtungsvektoren nicht
parallel zueinander sein. Daher erhält man für u  R\{4} schneidende Gerade.
c) Dieser Fall ist für diese Angabe nicht möglich, da der gegebene Punkt P(3|1)
der Geraden h nicht auf der Geraden g liegt.
keine Hilfsmittel erforderlich
Parallel oder schneidend 2
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
PARALLEL ODER SCHNEIDEND 3
ab Ende der 9. Schulstufe
Zwei Geraden im R2 sind entweder schneidend, parallel oder identisch.
3
  2
  3
 m
 .
Gegeben sind die Geraden g: X     t    und h: X     s  
 2
 1
  1
  2
Gibt es eine reelle Zahl m, sodass die Geraden g und h identisch sind?
Begründe deine Überlegungen.
Möglicher Lösungsweg
Die Geraden sind identisch, wenn die Richtungsvektoren parallel sind, und der gegebene
Punkt der Geraden h auf der Geraden g liegt.
Für m = 4 sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel.
Überprüfung, ob P auf g liegt:
P(3|1) in g einsetzen:
 3  3  2t
t 3
  3 3
  2
      t    

 Pg
1 2  t
t  3
  1  2 
 1
Das heißt für m = 4 sind die Geraden parallel, können aber nie identisch sein, weil P
nicht auf g liegt.
Oder:
Für m = 4 sind die Richtungsvektoren der Geraden parallel.
6
Da der Vektor   zwischen den beiden Punkten der Geraden nicht parallel zum
 2
Richtungsvektor von g ist, kann man die Geraden durch kein reelles m „identisch
machen“
keine Hilfsmittel erforderlich
Parallel oder schneidend 3
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
PÖSTLINGBERGBAHN
ab Ende der 9. Schulstufe
Gegeben ist ein Streckenplan (Quelle:
Wikipedia.org) der berühmten Pöstlingbergbahn in Linz. Die im Streckenplan links
neben den Haltestellen angeführten Zahlen
stellen die jeweilige Entfernung vom Hauptplatz in Kilometer (km) dar. In nachfolgenden
Berechnungen ist näherungsweise davon
auszugehen, dass die Streckenführung vom
Bergbahnhof Urfahr bis hinauf auf den
Pöstlingberg zwischen den einzelnen Stationen
mit annähernd gleichbleibender Steigung
verläuft.
(Urheber: Linzer Quelle: Nikitak.de.tl-Fotograf Nikita K.)
a) Berechne für den steilsten Abschnitt Schableder (km 2,7) bis Hoher Damm
(km 3,0) die Steigung in Prozent und den Steigungswinkel der Bahn.
b) In Wikipedia.org wird behauptet, dass die Steigung der Pöstlingbergbahn ab
Bergbahnhof Urfahr fast durchgehend 10,5% beträgt.
Wie lange müsste demnach die Höhendifferenz ab Bergbahnhof Urfahr sein, wenn
die angegebene Streckenlänge korrekt ist? Vergleiche die angegebene Höhendifferenz mit der errechneten. Welche Annahme triffst du für deine Rechnung?
keine Hilfsmittel erforderlich
Pöstlingbergbahn
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a)
300m
47m
sin(α) 
47
 α  9 ; Steigung: tan(α)  0,159  16%
300
b)
l
255m
tan(α)  10,5%  α  6
h  2900  sin(α)  303 m
Die Höhendifferenz bei 10,5% Steigung beträgt ungefähr 303 m statt der im
Fahrplan angegebenen 255 m.
Annahme: Die Pöstlingbergbahntrasse verläuft geradlinig.
Pöstlingbergbahn
2
PRIMZAHLENZUORDNUNG
ab Ende der 9. Schulstufe
f ist eine Funktion, welche jeder natürlichen Zahl n die Anzahl der Primzahlen zuordnet,
die kleiner oder gleich n sind.
a) Erstelle für die Grundmenge G  n  N, 1  n  15 eine Wertetabelle.
n
f(n)
b) Schreibe die Menge W der Funktionswerte bezogen auf die Grundmenge an.
c) Zeichne den Graphen von f(n).
keine Hilfsmittel erforderlich
Primzahlenzuordnung
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
f(n)
0
1
2
2
3
3
4
4
4
4
5
5
6
6
6
b) W   0,1,2,3,4,5,6
c)
Primzahlenzuordnung
2
PUNKTE AUF EINER GERADEN 1
ab Ende der 9. Schulstufe
Zur Hausübung soll überprüft werden, ob die drei Punkte A(4|3), B(1|3) und C(9|9)
auf einer Geraden liegen.
a) Anna rechnet:

  5    10 

AB    , BC  
6

12
 


  5
 10 
   t  
 
 6
  12 
 5  10 t  t  
1
2

6  12 t  t   1
2
Die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden.
b) Tom rechnet:

  5
AB   
 6
 4
  5
  λ   
X  
  3
 6
9  4  λ  ( 5)
 9  4
  5
      λ    
 9  3  λ  6
  9   3
 6
 λ  1
 λ  1

Die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden.
Erkläre die einzelnen Lösungswege.
Möglicher Lösungsweg


a) Anna überprüft, ob die Vektoren AB und BC zueinander parallel sind, d.h. ob der
eine Vektor als Vielfaches des zweiten dargestellt werden kann.

1 
Da AB    BC gilt, liegen die Punkte auf einer Geraden.
2
b) Tom stellt die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf und überprüft
durch Einsetzen des Punktes C dessen Lage bezüglich der Geraden.
Da sich für die x und yKoordinate derselbe Parameter λ  1 ergibt, liegt der
Punkt C auf der Geraden durch A und B.
keine Hilfsmittel erforderlich
Punkte auf einer Geraden 1
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
PUNKTE AUF EINER GERADEN 2
ab Ende der 9. Schulstufe
Überprüfe, ob drei Punkte A(2|1), B(3|5) und C(7|7) auf einer Geraden liegen und
erkläre deine Vorgehensweise.
Möglicher Lösungsweg
  5
 10 
  5
  2     2  AB
AB    , BC  
 6
  12 
 6
A, B und C liegen auf einer Geraden, wenn die Vektoren AB und BC zueinander parallel
sind, d.h. wenn der eine Vektor als Vielfaches des zweiten dargestellt werden kann.
Da BC  2  AB , liegen die Punkte A, B und C auf einer Geraden.
oder
 2
  5
  λ   
g (A, B) : X  
  1
 6
Überprüfung, ob C auf g (A, B) liegt :
7  2  λ  ( 5)
 7   2
  5
   
  λ    
 7  1  λ  6
  7   1
 6
 λ  1
 λ  1
 Cg
Man stellt die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf und überprüft durch
Einsetzen des Punktes C dessen Lage bezüglich der Geraden.
Da sich für die x und yKoordinate derselbe Parameter λ  1 ergibt, liegt der Punkt C
auf der Geraden durch A und B.
keine Hilfsmittel erforderlich
Punkte auf einer Geraden 2
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
oder
Aufgrund der „günstigen“ Koordinaten der Punkte A, B und C kann man mithilfe der
Rasterpunkte aus der Grafik ablesen, dass die Punkte auf einer Geraden liegen.
Punkte auf einer Geraden 2
2
PUNKTE AUF EINER GERADEN 3
ab Ende der 9. Schulstufe
Entwickle eine Strategie um zu überprüfen, ob drei Punkte A, B und C auf einer Geraden
liegen.
Möglicher Lösungsweg
A, B und C liegen auf einer Geraden, wenn die Vektoren AB und BC zueinander parallel
sind, d.h. wenn der eine Vektor als Vielfaches des zweiten dargestellt werden kann.
Wenn AB  v  BC gilt, liegen die Punkte auf einer Geraden.
oder
Man stellt die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B auf und überprüft durch
Einsetzen des Punktes C dessen Lage bezüglich der Geraden.
Wenn sich für die x und yKoordinate derselbe Parameter λ ergibt, liegt der Punkt C
auf der Geraden durch A und B.
keine Hilfsmittel erforderlich
Punkte auf einer Geraden 3
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
QUADRATISCHE FUNKTIONEN 1
ab Ende der 9. Schulstufe
Die Graphen f1, f2, f3 quadratischer Funktionen der Form f ( x)  ax 2  bx  c sind
Parabeln (siehe Abbildung).
Ordne in der Tabelle den vorgegebenen Bedingungen die entsprechenden Graphen zu
und trage sie in der Tabelle ein. Kreuze die zutreffende Eigenschaft an.
Bedingung
Graph(en)
Eigenschaften
b=0
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.
 Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.
a>0
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.
 Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.
a<0
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.
 Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.
Quadratische Funktionen 1
1
Möglicher Lösungsweg
Bedingung
Graph(en)
Eigenschaften
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.
b=0
a>0
f1
f1, f2
 Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.
 Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.
a<0
Quadratische Funktionen 1
f3
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.
 Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
 Der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.
2
QUADRATISCHE FUNKTIONEN 2
ab Ende der 9. Schulstufe
Eine quadratische Funktion hat die Funktionsgleichung f ( x)  ax 2  bx  c mit a, b, c  R
und a  0 .
Kreuze in der Tabelle jene Eigenschaften an, die unter den angegebenen Bedingungen
immer zutreffen.
Bedingungen
a < 0 und
c>0
Eigenschaften
 Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle.
 Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
 Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung.
 Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle.
a > 0, b = 0 und
 Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
c>0
 Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung.
c=0
 Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle.
 Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
 Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung.
Die unten abgebildeten Graphen quadratischer Funktionen können bei der Lösung der
Aufgabe eine Orientierungshilfe sein.
Quadratische Funktionen 2
1
Möglicher Lösungsweg
Bedingungen
a < 0 und
c>0
Eigenschaften
 Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle.
 Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
 Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung.
 Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle.
a > 0, b = 0 und
 Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
c>0
 Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung.
c=0
 Der Funktionsgraph hat keine Nullstelle.
 Der Graph hat genau zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
 Der Funktionsgraph verläuft durch den Koordinatenursprung.
Quadratische Funktionen 2
2
QUADRATISCHE FUNKTIONEN 3
ab Ende der 9. Schulstufe
Die Graphen f1, f2, f3 quadratischer
Funktionen der Form f ( x)  ax 2  bx  c
sind Parabeln (siehe Abbildung).
Ordne den Aussagen in der Tabelle
die richtigen Begründungen und die
entsprechenden Graphen zu.
Aussage
Wenn a kleiner 0
ist, dann ist der
Scheitelpunkt der
Parabel ein
Hochpunkt.
b = 0 bedeutet,
dass der
Funktionsgraph
symmetrisch zur
y-Achse verläuft.
c = 0 bedeutet,
dass der
Funktionsgraph
durch den Koordinatenursprung
verläuft.
keine Hilfsmittel erforderlich
Quadratische Funktionen 3
Graph
Begründung
 Es gilt: f(x) = f(-x).
 Die Funktionswerte werden für wachsende |x| links
und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner.
 Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen
des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden.
 Es gilt: f(x) = f(-x).
 Die Funktionswerte werden für wachsende |x| links
und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner.
 Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen
des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden.
 Es gilt: f(x) = f(-x).
 Die Funktionswerte werden für wachsende |x| links
und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner.
 Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen
des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden.
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
Aussage
Wenn a kleiner 0
ist, dann ist der
Scheitelpunkt der
Parabel ein
Hochpunkt.
b = 0 bedeutet,
dass der
Funktionsgraph
symmetrisch zur
y-Achse verläuft.
c = 0 bedeutet,
dass der
Funktionsgraph
durch den Koordinatenursprung
verläuft.
Quadratische Funktionen 3
Graph
Begründung
 Es gilt: f(x) = f(-x).
f3
f1
 Die Funktionswerte werden für wachsende |x| links
und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner.
 Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen
des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden.
 Es gilt: f(x) = f(-x).
 Die Funktionswerte werden für wachsende |x| links
und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner.
 Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen
des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden.
 Es gilt: f(x) = f(-x).
 Die Funktionswerte werden für wachsende |x| links
f2
und rechts des Scheitelpunkts immer kleiner.
 Die Richtigkeit dieser Aussage kann durch Einsetzen
des entsprechenden Punktes in die Funktionsgleichung f(x) = ax² + bx + c gezeigt werden.
2
RECHNEN MIT VEKTOREN 1
ab Ende der 9. Schulstufe



Gegeben sind die Vektoren r , s und t .
Kreuze an, welche Aussagen zutreffend
bzw. nicht zutreffend sind.




t s r 0



t s r









t s  r
tr s
t s r
zutreffend
nicht zutreffend










Möglicher Lösungsweg




t s r 0



t s r









t s  r
tr s
t s r
keine Hilfsmittel erforderlich
Rechnen mit Vektoren 1
zutreffend
nicht zutreffend










gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
RECHNEN MIT VEKTOREN 2
ab Ende der 9. Schulstufe



Gegeben sind die Vektoren r , s und t .
Kreuze an, welche Aussagen zutreffend
bzw. nicht zutreffend sind.
Erläutere den Unterschied zwischen den
beiden Darstellungen.







t s r 0
t s r 0
zutreffend
nicht zutreffend




Möglicher Lösungsweg
zutreffend
nicht zutreffend



t s r 0








t s r 0
Das Ergebnis einer Vektoraddition ist ein Vektor und keine Zahl. Daher ist die richtige
Lösung der Nullvektor und nicht die Zahl Null.
keine Hilfsmittel erforderlich
Rechnen mit Vektoren 2
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
SCHNITTPUNKTE VON GRAPHEN
ab Ende der 9. Schulstufe
In der Abbildung sind die Graphen zweier Funktionen mit den Gleichungen
a
a
f1(x)  , a  0 und f2 (x)  2 , a  0 dargestellt.
x
x
Kreuze bitte die richtige Aussage an und begründe deine Entscheidung.
Der Schnittpunkt S zweier solcher Funktionsgraphen ist immer:
a)  S(1| 1)
b)  S(a | 1)
c)  S(1| a)
d)  S(a | a)
Möglicher Lösungsweg
a)  S(1| 1)
b)  S(a | 1)
d)  S(a | a)
c)  S(1| a)
a
a
 2  a  x  a  a  x  a  0  a  ( x  1)  0  x  1
x
x
Für x = 1 gilt f1( x)  f2 ( x)  a .
keine Hilfsmittel erforderlich
Schnittpunkte von Graphen
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
SCHULWEG 1
ab Ende der 9. Schulstufe
Tanja erzählt von Ihrem Schulweg am letzten Mittwoch:
Zuerst bin ich langsam von Zuhause weggegangen und habe dann bemerkt, dass ich zu
spät zur Busstation kommen werde. Dann bin ich etwas schneller gegangen und habe
sogar noch auf den Bus warten müssen. Mit dem Bus bin ich etwas mehr als 10 min
gefahren, auf den letzten Metern zur Schule habe ich mit meinen Freundinnen geredet.
a) Die nebenstehende graphische
Darstellung veranschaulicht die
Geschichte von Tanja; die
zurückgelegte Strecke s (in m)
wird dabei in Abhängigkeit von
der Zeit t (in min) dargestellt.
Welcher Abschnitt des Schulwegs von Tanja entspricht welchen Teilen des Funktionsgraphen?
Ordne eindeutig - mit möglichst
genauen Grenzen – zu.
b) Wie lange hat Tanja auf den
Bus gewartet?
c) Wie lange ist sie mit dem Bus
gefahren und welche Strecke
hat sie mit dem Bus zurückgelegt?
d) Madeleine sagt zu Tanja: „Von der Bushaltestelle bis zur Schule seid ihr schon
sehr langsam gegangen.“ Wie kommt Madeleine zu der Aussage?
e) Beate sagt: „Der Bus hat während deiner Fahrt bei keiner weiteren Haltestelle
angehalten.“ Wie könnte Beate ihre Aussage begründen?
Wie könnte sich die Grafik ändern, wenn nach 5 Minuten Fahrt eine Haltstelle
angefahren wurde?
f) Elli behauptet, dass sie sogar die Fahrgeschwindigkeit des Busses annähernd
bestimmen kann. Wie könnte sie vorgegangen sein und zu welchem Ergebnis
kommt sie?
keine Hilfsmittel erforderlich
Schulweg 1
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a) Zuerst bin ich langsam von zu Hause weggegangen - das sind die ersten
10 Minuten.
Dann habe ich bemerkt, dass ich zu spät zur Busstation kommen werde und bin
ich etwas schneller gegangen - von der 10 Minute an bis zur 25 Minute.
Dann habe ich sogar noch auf den Bus warten müssen - von der 25 Minute bis
zur 30 Minute.
Mit dem Bus bin ich etwas mehr als 10 Minuten gefahren - genauer: von der
30 Minute bis zur 43 Minute.
Auf den letzten Metern zur Schule habe ich mit meinen Freundinnen geredet
– von der 43 Minute bis zur 49 Minute.
b) 5 Minuten
c) Fahrzeit: 13 min;
zurückgelegte Strecke: 4750 m – 1400 m = 3350 m
d) In 6 Minuten wurden nur 150 m zurückgelegt.
e) In dem Abschnitt gibt es keinen Knick (Geschwindigkeit konstant) oder eine waagrechte Unterbrechung.
Wird nach 5 min Fahrt eine Haltestelle angefahren, so wird bei der Graphik nach
der Minute 35 ein kurzer waagrechter Strich sein.
f) Mit den Angaben von c) ergibt sich eine Geschwindigkeit von:
v = 3350:13 m/min ≈ 258 m/min ≈ 15,5 km/h; v ≈ 15,5 km/h
Schulweg 1
2
SCHULWEG 2
ab Ende der 9. Schulstufe
a) In der nebenstehenden Graphik wird
der Schulweg von Ulrich veranschaulicht.
Finde dazu eine passende Geschichte,
wie Ulrich gegangen sein könnte.
b) Gibt es zu der zweiten Graphik eine
ähnliche Geschichte?
Begründe deine Aussagen.
Möglicher Lösungsweg
a) Sinngemäß: Ulrich geht von zu Hause fort und kommt nach 10 Minuten und 600 m
zurückgelegten Weges (Strecke AB) zu seinem Freund. Dieser ist aber noch nicht
fertig und er muss 10 min warten (Strecke BC). Dann gehen sie gemeinsam die
restlichen 1100 m in 15 min bis zur Schule.
b) Sinngemäß: Der vertikale Abschnitt CD wird nicht möglich sein (keine Funktion).
Der Abschnitt DE kann erklärt werden, etwa durch Zurückgehen Richtung
Ausgangspunkt. (z.B.: In der Graphik wird die Entfernung von Ulrich zu seiner
Wohnung dargestellt; die Busstation ist etwas weiter entfernt als die Schule).
keine Hilfsmittel erforderlich
Schulweg 2
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
STROMPREISE
ab Ende der 9. Schulstufe
Ein Energieversorger bietet Kunden folgenden Tarif für Haushaltsstrom an.
Information zu Ihrem Energieprodukt
Preisübersicht Optima Float April 2010
Produkt
Preiskomponente
Einheit
Betrag
Optima Float
Energieverbrauchspreis
ct / kWh*
8,3399
Grundpreis
Euro/Monat
3,00
Preise inkl. 20 % USt.
* in Cent pro verbrauchter Kilowattstunde
a) Familie Kraner verbrauchte im Monat September1.020 kWh. Wie viel hätte sie mit
diesem Tarif zu bezahlen?
b) Stelle eine Formel zur Berechnung des monatlichen Energiegesamtpreises
(Energieverbrauchpreis plus Grundpreis) auf und erkläre die von dir verwendeten
Variablen.
c) Besteht zwischen dem Verbrauch an kWh und dem monatlichen Energiegesamtpreis ein linearer Zusammenhang? Begründe deine Antwort.
d) Besteht zwischen dem Verbrauch an kWh und dem Energiegesamtpreis (jeweils
für ein Monat gerechnet) ein direktes Verhältnis? Begründe deine Antwort.
e) Besteht zwischen dem Verbrauch an kWh und dem Preis für diese kWh (exklusive
Grundpreis) ein direktes Verhältnis? Begründe deine Antwort.
keine Hilfsmittel erforderlich
Strompreise
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a) 3  1.020  0,083399  88,867
Familie Kraner bezahlt € 88,87.
b) P(x)  3  x  0,083399
x …. verbrauchte kWh,
P(x) …. Preis in €
c) Ja, weil sich eine Funktionsgleichung der Form y  k  x  d angeben lässt, wobei
k  0,083399 und d  3 ist.
d) Nein, weil doppelter Verbrauch bedeutet nicht doppelter Energiegesamtpreis.
e) Ja. Wird vom monatlich zu entrichtenden Grundpreis abgesehen, gilt:
doppelter Verbrauch ergibt einen doppelt so hohen Energieverbrauchpreis.
Strompreise
2
TEMPERATURSKALEN 1
ab Ende der 9. Schulstufe
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist
die Messung in °F (Fahrenheit) üblich.
Die Gerade f stellt den Zusammenhang zwischen °C und °F dar.
Kreuze die richtigen Aussagen an:







160°C entsprechen auch 160°F.
160 °C entsprechen doppelt so vielen °F.
f(x 2 )  f(x 1 ) 320  140 9

 .
Der Anstieg der Geraden ist k 
x 2  x1
160  60 5
x 2  x1
5
 .
Der Anstieg der Geraden ist k 
f(x 2 )  f(x 1 ) 9
Eine Zunahme um 1°F bedeutet eine Zunahme um 1,8°C.
Eine Zunahme um 1°C bedeutet eine Zunahme um 1,8 °F.
Eine Abnahme um 1°F bedeutet eine Abnahme um 5 °C.
9
Temperaturskalen 1
1
Möglicher Lösungsweg







160°C entsprechen auch 160°F.
160 °C entsprechen doppelt so vielen °F.
f(x 2 )  f(x 1 ) 320  140 9
Der Anstieg der Geraden ist k 

 .
x 2  x1
160  60 5
x 2  x1
5
Der Anstieg der Geraden ist k 
 .
f(x 2 )  f(x 1 ) 9
Eine Zunahme um 1°F bedeutet eine Zunahme um 1,8°C.
Eine Zunahme um 1°C bedeutet eine Zunahme um 1,8 °F.
Eine Abnahme um 1°F bedeutet eine Abnahme um 5 °C.
9
Temperaturskalen 1
2
TEMPERATURSKALEN 2
ab Ende der 9. Schulstufe
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist
die Messung in °F (Fahrenheit) üblich.
Eine Zunahme um 1°C bedeutet eine Zunahme um 9 °F.
5
Eine Temperatur von 50°C entspricht einer Temperatur von 122°F.
Gib den entsprechenden Funktionsterm an, wenn x die Temperatur in °C und f(x) die
Temperatur in °F sein soll.
Möglicher Lösungsweg
f ( x)  k  x  d
k
9
5
122 
9
 50  d  d  32
5
f ( x) 
9
x  32
5
keine Hilfsmittel erforderlich
Temperaturskalen 2
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
TEMPERATURSKALEN 3
ab Ende der 9. Schulstufe
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius) gemessen; in einigen anderen Ländern ist
die Messung in °F (Fahrenheit) üblich.
Es besteht der folgende Zusammenhang:
9
f ( x )  x  32 (x ... Temperatur in °C, f(x) ... Temperatur in °F)
5
Kreuze die richtigen Aussagen an.
Die Temperatur in °C und jene in °F sind zueinander





direkt proportional, da gilt: Je mehr °C, desto mehr °F.
direkt proportional, da eine Zunahme um 1°C immer eine Erwärmung um gleich
viele °F bedeutet.
indirekt proportional, da es beispielsweise bei 320°F genau halb so viele °C hat.
nicht proportional, da eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele °C weder bedeutet,
dass die Temperatur auf dreimal so viele °F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel
absinkt.
nicht proportional, da der entsprechende Funktionsterm die Form f ( x)  k  x  d mit
d  0 hat.
Möglicher Lösungsweg
Die Temperatur in °C und jene in °F sind zueinander





direkt proportional, da gilt: Je mehr °C, desto mehr °F.
direkt proportional, da eine Zunahme um 1°C immer eine Erwärmung um gleich
viele °F bedeutet.
indirekt proportional, da es beispielsweise bei 320°F genau halb so viele °C hat.
nicht proportional, da eine Erwärmung auf z. B. dreimal so viele °C weder bedeutet,
dass die Temperatur auf dreimal so viele °F ansteigt, noch dass sie auf ein Drittel
absinkt.
nicht proportional, da der entsprechende Funktionsterm die Form f ( x)  k  x  d mit
d  0 hat.
keine Hilfsmittel erforderlich
Temperaturskalen 3
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
TEMPERATURVERLAUF
ab Ende der 9. Schulstufe
In untenstehender Graphik wird der Temperaturverlauf (T in °C) eines chemischen
Experiments innerhalb der ersten 8 Minuten annähernd wiedergegeben.
In der Aufgabenstellung stehen t1 und t2 für zwei beliebige Zeitpunkte.
T
t
a) Was wird durch T(t1) bestimmt?
b) Bestimme T(1), T(3,5), T(7,5).
c) Erstelle eine sinnvolle Tabelle (siehe Vorlage) mit einigen Werten und mit verbalen
Kommentaren so, dass der Temperaturverlauf schnell aus der Tabelle skizziert
werden kann.
t
T
Kommentar
d) Erkläre in Worten, was durch T(3,5) – T(1) bzw. allgemein T(t2) – T(t1) ausgedrückt
wird.
e) In welchem Intervall von einer Minute könnte die Aussage „Jetzt ändert sich die
Temperatur aber nicht sehr stark“ bzw. „Jetzt ändert sich die Temperatur aber
stark.“ gelten? Begründe deine Antworten.
keine Hilfsmittel erforderlich
Temperaturverlauf
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a) T(t1) gibt die Temperatur zu dem Zeitpunkt t1 an.
b) Näherungswerte: T(1) = 30°, T(3,5) ≈ 25,8°, T(7,5) ≈ 25,5°
c)
t
T
Kommentar
0
26
≈1,5
≈30,4
Hochpunkt (oder sinngemäß)
≈3,5
≈25,8
Wendepunkt (oder sin gemäß)
≈5,8
≈20
Tiefpunkt (oder sinngemäß)
8
30
Endpunkt
Startpunkt
d) allgemein: T(t2) – T(t1) gibt die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten t2 und t1 wieder
konkret: T(3,5) – T(1) gibt die Temperaturdifferenz zwischen den Zeitpunkten t3.5
und t1 wieder; sie beträgt ≈ - 4,2 °
e) Keine starke Änderung der Temperatur zwischen der 1. und 2. Minute, hier beträgt
sie immer um die 30°, bzw. zwischen den Minuten 5,5 und 6,5, hier sind es immer
um die 20°;
eher starke Änderungen in der ersten Minute, in den Minuten 2,5 bis 6 und in der
letzten Minute.
Temperaturverlauf
2
VEKTOREN IM DREIECK
ab Ende der 9. Schulstufe
Ein Dreieck ABC ist rechtwinklig mit der Hypotenuse AB.
Bewerte die folgenden Aussagen und kreuze entsprechend an.
Aussage
ist immer richtig
kann richtig sein
stimmt sicher nicht
ABAC



AB  BC  AC



AC  BC  0






AB  BC



ACBC



2
2
AB  AC  BC
2
Möglicher Lösungsweg
Aussage
ist immer richtig
kann richtig sein
stimmt sicher nicht
ABAC



AB  BC  AC



AC  BC  0






AB  BC



ACBC



2
2
AB  AC  BC
2
keine Hilfsmittel erforderlich
Vektoren im Dreieck
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
WINKELFUNKTIONEN IM EINHEITSKREIS
ab Ende der 9. Schulstufe
In der folgenden Abbildung sind vier Winkelfunktionswerte am Einheitskreis (farbig)
dargestellt.
a) Gib zu jedem dargestellten Winkelfunktionswert an, um welche Winkelfunktion es
sich dabei handelt und ob der darstellte Funktionswert positiv oder negativ ist.
b) Zeichne zu jedem Winkelfunktionswert alle Winkel im Einheitskreis ein, die den
gleichen Winkelfunktionswert besitzen. Wie viele solche Winkel gibt es jeweils?
keine Hilfsmittel erforderlich
Winkelfunktionen im Einheitskreis
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a) I)
II)
III)
IV)
sin()  0
sin()  0
cos( )  0
tan()  0
b)
Es gibt – mit Ausnahme von Sonderfällen wie beispielsweise bei I) dargestellt –
jeweils zwei Winkel, die im Einheitskreis den gleichen Winkelfunktionswert
besitzen.
Winkelfunktionen im Einheitskreis
2
WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKLIGEN
DREIECK 1
ab Ende der 9. Schulstufe
In der folgenden Abbildung sind vier rechtwinklige Dreiecke dargestellt.
Gib in jedem Dreieck für den bezeichneten spitzen Winkel an, welche Winkelfunktion
durch das angegebene Seitenverhältnis dargestellt wird.
a) Dreieck 1:
....... α 
c1
e
b) Dreieck 2:
....... β 
b
u
c) Dreieck 3:
....... γ  
j
k
d) Dreieck 4:
....... δ 
h2
g3
Möglicher Lösungsweg
a) cosα
b) tanβ
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 1_schwarz-weiß
c) sinγ 
d) sinδ
1
WINKELFUNKTIONEN IM
RECHTWINKLIGEN DREIECK 2
ab Ende der 9. Schulstufe
In der folgenden Abbildung sind vier rechtwinklige Dreiecke dargestellt.
Gib in jedem Dreieck für den bezeichneten spitzen Winkel an, welche Winkelfunktion
durch das Verhältnis der roten zur blauen Seite dargestellt wird.
a) Dreieck 1:
...... α 
b) Dreieck 2:
.......  
c) Dreieck 3:
...... γ  
d) Dreieck 4:
....... δ 
Möglicher Lösungsweg
a) cosα
b) tanβ
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 2_farbig
c) sinγ 
d) sinδ
1
WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKLIGEN
DREIECK 3
ab Ende der 9. Schulstufe
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit nebenstehender
Skizze.
a) Zeige, dass dieses Dreieck mit diesen Angaben
möglich ist.
b) Welche der folgenden Aussagen sind im oben abgebildeten rechtwinkligen Dreieck richtig beziehungsweise falsch?
Kreuze in der Tabelle „richtig“ bzw. „falsch“ an.
Aussage
richtig
falsch
cos() 
5
13


sin() 
5
13


tan() 
5
13


cos( ) 
13
12


sin( ) 
5
13


tan(  ) 
12
5


sin( )
cos( )


tan(  ) 
keine Hilfsmittel erforderlich
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 3
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
a) Das Dreieck kann so existieren, da der Pythagoreische Lehrsatz erfüllt ist:
152  362  392
b)
Beziehung
richtig
falsch
cos() 
5
13


sin() 
5
13


tan() 
5
13


cos( ) 
13
12


sin( ) 
5
13


tan(  ) 
12
5


sin( )
cos( )


tan(  ) 
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 3
2
WINKELFUNKTIONSWERTE
ab Ende der 9. Schulstufe
In der folgenden Abbildung sind drei rechtwinklige Dreiecke dargestellt.
In jedem dieser rechtwinkligen Dreiecke gibt das Verhältnis an : bn den Tangens des
jeweiligen Winkels α1, α2, oder α3 an.
Ordne in jedem Dreieck den Tangens der Winkel α1, α2, und α3 der Größe nach.
Was fällt dir dabei auf? Wie kannst du das begründen?
keine Hilfsmittel erforderlich
Winkelfunktionswerte_schwarz-weiß
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
Dieses Beispiel bietet vielfältige Lösungsmöglichkeiten im Sinne unterschiedlicher
Argumentationslinien an. Hier ist ein Lösungsweg angegeben, der für Schüler/nnen, die
an Berechnungen gewöhnt sind, naheliegend sein könnte. Weitere Lösungsansätze sind
im Kommentar zu finden.
Durch den Satz des Pythagoras kann die fehlende (blaue) Seite bn der einzelnen Dreiecke
leicht berechnet werden:
b1  4;
b2  8; b3  12 und somit
tanα1  
3
6 3
9 3
 tanα2     tanα3  

4
8 4
12 4
Die Winkelfunktionswerte sind gleich, weil es sich bei den drei Dreiecken offensichtlich
um ähnliche Dreiecke handelt (Zwei Dreiecke sind unter anderem ähnlich, wenn sie im
Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen). In
ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse von zwei beliebigen, jeweils parallelen Seiten
gleich. Aus diesem Grund müssen auch die Winkelfunktionswerte für jede beliebige
Winkelfunktion gleich sein. Darauf basiert die Eindeutigkeit der Definition der
Winkelfunktionen.
Winkelfunktionswerte_schwarz-weiß
2
WINKELFUNKTIONSWERTE_FARBE
ab Ende der 9. Schulstufe
In der folgenden Abbildung sind drei rechtwinklige Dreiecke dargestellt.
In jedem dieser rechtwinkligen Dreiecke gibt das Verhältnis der roten zur blauen Seite
den Tangens des jeweiligen Winkels α1, α2, oder α3 an.
Ordne in jedem Dreieck den Tangens der Winkel α1, α2, und α3 der Größe nach.
Was fällt dir dabei auf? Wie kannst du das begründen?
keine Hilfsmittel erforderlich
Winkelfunktionswerte_Farbe
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Möglicher Lösungsweg
Dieses Beispiel bietet vielfältige Lösungsmöglichkeiten im Sinne unterschiedlicher
Argumentationslinien an. Hier ist ein Lösungsweg angegeben, der für Schüler/innen, die
an Berechnungen gewöhnt sind, naheliegend sein könnte. Weitere Lösungsansätze sind
im Kommentar zu finden.
Durch den Satz des Pythagoras kann die fehlende (blaue) Seite b der einzelnen Dreiecke
leicht berechnet werden:
b1  4;
b2  8; b3  12 und somit
tanα1  
3
6 3
9 3
 tanα2     tanα3  

4
8 4
12 4
Die Winkelfunktionswerte sind gleich, weil es sich bei den drei Dreiecken offensichtlich
um ähnliche Dreiecke handelt (Zwei Dreiecke sind unter anderem ähnlich, wenn sie im
Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen). In
ähnlichen Dreiecken sind die Verhältnisse von zwei beliebigen, jeweils parallelen Seiten
gleich. Aus diesem Grund müssen auch die Winkelfunktionswerte für jede beliebige
Winkelfunktion gleich sein. Darauf basiert die Eindeutigkeit der Definition der
Winkelfunktionen.
Winkelfunktionswerte_Farbe
2
ZAHLEN
ab Ende der 9. Schulstufe
In der folgenden Tabelle sind verschiedene Zahlen dargestellt.
Kreuze in jeder Zeile alle zutreffenden Aussagen an.
N
Z
Q
R
N
Z
Q
R




(6)
3 8





3
8





(1)
2
5
(2)
0,4





(7)
(3)
0, 4





(8)

4





(4)
1,410





(9)
0





(5)
 1,410 




(10)






N
Z
Q
R

-3
3
Möglicher Lösungsweg
N
Z
Q
R
(1)
2
5





(6)
3 8





(2)
0,4





(7)
3
8





(3)
0, 4





(8)

4





(4)
1,410





(9)
0





(5)
 1,410 




(10)






-3
3
keine Hilfsmittel erforderlich
Zahlen
gewohnte Hilfsmittel möglich
besondere Technologie erforderlich
1
Erweiterung
Hinweis: Für die Beantwortung der folgenden Fragen ist teilweise ein (Internet-)Zugang
zur Fachliteratur erforderlich.
a) In der Regel sind in jeder Zeile mehrere Kreuze zu setzen. Warum?
b) Vergleiche die Zahlen in (1) und (2). Was fällt dir auf?
c) Begründe deine Antworten für die Teilaufgaben (7) und (10).
d) Ist die Summe bzw. das Produkt zweier irrationaler Zahlen wieder eine irrationale
Zahl?
Zu welcher Zahlenmenge (welchen Zahlenmengen) gehören  + e bzw.   e?
e) Der Verkäufer eines Elektronikmarktes behauptet: „Numerische Taschenrechner
haben zwar eine Wurzeltaste, aber in Wahrheit können sie gar nicht mit reellen
Zahlen rechnen.“ Hat er recht?
Möglicher Lösungsweg
a) Aufgrund der Teilmengenbeziehung N  Z  Q  R ist jede natürliche Zahl auch eine
ganze Zahl, jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl und jede rationale Zahl auch
eine reelle Zahl.
b)
2
und 0,4 sind verschiedene Darstellungen derselben Zahl.
5
c) (7)
Wurzeln - auch dritte Wurzeln - sind nur für nichtnegative reelle Zahlen definiert.
Würde man in der Erklärung „Die dritte Wurzel einer reellen Zahl n ist jene
nichtnegative reelle Zahl, deren dritte Potenz n ergibt.“ die Forderung der
Nichtnegativität weglassen und z.B. wegen ( 2)3  8 auch die Umkehrung
 8  2 akzeptieren, dann müsste man damit zugleich auf die üblichen
Rechenregeln für Potenzen verzichten, da sich sonst Widersprüche ergäben,
z.B.  2 = 2:
3
1
3
2
6
2
6
1
3
 2   8  ( 8)  (8)  (8)  8  8  8  3 8  2
3
6
2
6
2
(10)  (unendlich) steht für „größer als jede beliebige Zahl“ und ist selbst keine Zahl
aus einer der hier angeführten Zahlenmengen.
d) Summe und Produkt irrationaler zahlen müssen keineswegs wieder irrational sein.
Z.B. ist für die beiden irrationalen Zahlen a  (1 2 ) und b  (1 2 )
- die Summe a + b = 2 eine natürliche Zahl und
- das Produkt a  b =  1 eine ganze Zahl.
(Selbstverständlich sind sowohl natürliche Zahlen als auch ganze Zahlen zugleich
reelle Zahlen, aber nicht irrational.)
Zahlen
3
Von  + e bzw.   e ist bis heute nicht bekannt, ob es sich dabei um irrationale
Zahlen handelt. (http://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl 06.06.2010)
e) Numerische Taschenrechner haben für die Darstellung reeller Zahlen nur begrenzten
Speicherplatz zur Verfügung und können daher nur mit einer endlichen Anzahl von
Kommastellen arbeiten, also nur mit rationalen Näherungen für Wurzeln oder andere
irrationale Zahlen.
Insofern hat der Verkäufer recht.
Zahlen
4