Etwas Mathematik?

Etwas Mathematik
Vorkurs Wintersemester 2016/17
Werner Struckmann
4.–14. Oktober 2016
Etwas Mathematik
Aussagen
Aussagen und ihre Bedeutung
Aussage: Ein sprachliches Gebilde, dem man sinnvoll einen der Wahrheitswerte
wahr oder falsch zuordnen kann.
Menge der Wahrheitswerte:
B = boolean = {0, 1} = {t, f } = {true, f al se} = {w, f } = {wahr, f al sch}
TND: Tertium non datur
Es gibt auch Logiken, bei denen Aussagen anders sind.
Beispiele: Fuzzy-Logik, LTL (linear time logic), ....
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Etwas Mathematik
Aussagenlogik
Menge der Aussagenvariablen: V
V = {p1 , p2 , p3 , ...}
Die Variablen werden z. B. auch als p, q, r, ... geschrieben.
Menge der Ausdrücke: A
pi ∈ A
Φ, Ψ ∈ A =⇒
(¬Φ) ∈ A
(Φ ∧ Ψ ) ∈ A
(Φ ∨ Ψ ) ∈ A
(Φ → Ψ ) ∈ A
(Φ ↔ Ψ ) ∈ A
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
Diese Operationen werden auch Verknüpfungen genannt.
Etwas Mathematik
Wahrheitswerte bei Verknüpfungen
F (Φ)
Φ
f
w
Φ
f
f
w
w
Ψ
f
w
f
w
Φ∧Ψ
f
f
f
w
¬Φ
w
f
Φ∨Ψ
f
w
w
w
Φ→Ψ
w
w
f
w
Kein exklusives Oder
Φ ist erfüllbar gdw. es ex. ein Fall mit F (Φ) = w
Φ ist allgemeingültig gdw. für alle Fälle gilt F (Φ) = w
Φ↔Ψ
w
f
f
w
Etwas Mathematik
Prädikatenlogik
Die Prädikatenlogik legt eine Struktur der Aussagen fest.
Variable p1 , p2 , p3 , ..., x, y, z, ...
Quantoren: ∃, ∀
Funktionssymbole
Relationssymbole
Verknüpfungen, Klammerungen
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Etwas Mathematik
Mengenlehre
Georg Cantor, 1895
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung
von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens zu einem Ganzen M.
m∈M
ZFC ist eine der axiomatischen Mengenlehren.
Relationssymbol: ∈
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Etwas Mathematik
Mengenlehre
Beispiel:
M = {2, 7, 5} = {5, 2, 5, 7, 7, 2, 2, 2}
| M |= 3
Ein Axiom:
Das Extensionalitätsaxiom:
∀x∀y(∀z(z ∈ x ↔ z ∈ y) ↔ x = y)
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Etwas Mathematik
Mengen
Leere Menge:
∅ = {}
Zahlenmengen:
N, N0 , Z, Q, R, C
Teilmenge:
N⊆M
Potenzmenge:
P (M) = {N | N ⊆ M}
Durchschnittsmenge:
M ∩ N = {x | x ∈ M ∧ x ∈ N}
Vereinigungsmenge:
M ∪ N = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N}
Differenzmenge:
M \ N = {x | x ∈ M ∧ x ∈
/ N}
Kartesisches Produkt:
M × N = {(x, y) | x ∈ M ∧ y ∈ N}
Relationen: R ⊆ M × N
Funktionen: f : M → N
Relationen und Funktionen können auch mehrstellig sein.
Etwas Mathematik
Fazit bis jetzt
Was sind Aussagen? (Aussagenlogik)
Wie können Aussagen formuliert werden? (Prädikatenlogik)
Mengenlehre (axiomatisch)
spezielle Mengen: leere Menge, Zahlenmengen
Mengenoperationen
Relationen, Funktionen
Dies ist die Basis und die Sprache der Informatik, der Mathematik, ....
Kann man alles beweisen? Auch die Widerspruchsfreiheit?
Gödelsche Unvollständigkeitssätze
Hinweis: Außer der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik gibt weitere Logiken
(schon erwähnt).
Etwas Mathematik
Summen- und Produktzeichen
Summenzeichen (Sigma):
b
X
xi = xa + xa+1 + xa+2 + ... + xb
i =a
Produktzeichen (Pi):
b
Y
xi = xa · xa+1 · xa+2 · ... · xb
i =a
Beispiele:
5
X
i =0
(i + 2) = 27
5
X
i + 2 = 17
i =0
5
X
2 = 12
b
X
i =0
Typisch, aber nicht immer, falls a > b:
Leere Summe: 0
1 = b−a+1
i =a
Leeres Produkt: 1
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Etwas Mathematik
Gaußsche Summenformel, Beweis durch Induktion
Satz:
n
X
i =1
i=
n
· (n + 1)
2
Beweis:
Induktionsanfang:
n=1:
1
X
i =1=
i =1
1
· (1 + 1)
2
Induktionsschluss mit Induktionsvoraussetzung:
n+1
X
i =1
i=
n
X
i =1
i + (n + 1) =
n · (n + 1) + 2 · (n + 1)
(n + 1)
n
· (n + 1) + (n + 1) =
=
· (n + 2)
2
2
2
Durch Induktion können z. B. Mengen und Funktionen definiert und Aussagen
bewiesen werden. Es gibt mehrere Varianten der Induktion.
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Landau-Symbole
Definition: Es sei eine Funktion g : N −→ R gegeben.
Θ(g) = {f : N −→ R | ∃c1 > 0, c2 > 0, n0 > 0 ∀n ≥ n0 . 0 ≤ c1 g(n) ≤ f (n) ≤ c2 g(n)}
O(g) = {f : N −→ R | ∃c > 0, n0 > 0 ∀n ≥ n0 . 0 ≤ f (n) ≤ cg(n)}
Ω(g) = {f : N −→ R | ∃c > 0, n0 > 0 ∀n ≥ n0 . 0 ≤ cg(n) ≤ f (n)}
o(g) = {f : N −→ R | ∀c > 0 ∃n0 > 0 ∀n ≥ n0 . 0 ≤ f (n) < cg(n)}
ω(g) = {f : N −→ R | ∀c > 0 ∃n0 > 0 ∀n ≥ n0 . 0 ≤ cg(n) < f (n)}
Anwendung, Komplexität: Anzahl der Vergleiche bei Bubblesort:
f (n) =
n−1
X
i =1
Schreibweise:
i=
n−1
1
1
· n = n2 − n ≤ n2
2
2
2
2
f ∈ O(n )
oder
2
f = O(n )
Etwas Mathematik
Beispiele für das Summenzeichen
Distributivgesetz:
c · a1 + c · a2 + ... + c · an = c · (a1 + a2 + ... + an )
n
X
(c · ai ) = c ·
i =1
n
X
n
X
ai
i =1
(c · ai + d ) = c ·
n
X
i =1
ai + n · d
i =1
Umindizierung:
n
X
i =0
ai =
n+a
X
ai −a
i =a
Doppelsumme:
n X
m
X
ai · bj = a1 · b1 + a1 · b2 + ... + a1 · bm
i =1 j =1
+ a2 · b1 + a2 · b2 + ... + a2 · bm + ..... + an · b1 + an · b2 + ... + an · bm
Etwas Mathematik
Etwas weiteres zum Summenzeichen
Häufig verwendte Formeln
n
X
qi =
1 − q n+1
1−q
qi =
q−q
1−q
i =0
n
X
i =1
q 6= 1
n+1
q 6= 1
Andere Schreibweise;
I eine endliche Indexmenge, i ∈ I, 0 ∈ A, ai ∈ A
X
ai := 0
i ∈∅
X
i ∈I
ai := aj +
X
ai
i ∈I\{j }
Für das Produktzeichen gibt es auch eine Schreibweise mit einer Indexmenge.
Etwas Mathematik
Etwas Rechnen
Potenz, Wurzel und Logarithmus:
y = xn
↔
x=
p
n
↔
y
n = logx (y)
Potenz:
x −n =
x n · x m = x n+m
n
1
xn
x
= x n−m
xm
Wurzel:
p
n
1
1
1
y · z = (y · z) n = y n · z n =
p
√
n
n
y· z
Logarithmus:
logx (y · z) = logx (y) + logx (z)
y
logx ( ) = logx (y) − logx (z)
z
logx (y n ) = n · logx (y)
(x n )m = x n·m
Etwas Mathematik
Etwas Wichtiges für die Komplexität von Algorithmen
Logarithmen vom gleichen Wert x zu unterschiedlichen Basen unterscheiden sich
nur um einen Faktor, der nicht von x abhängt.
Satz: Hier hängt c nicht von x ab:
c · loga (x) = logb (x)
Beweis: Setze c = logb (a). Damit gilt
c · loga (x) = loga (x) · logb (a) = logb (aloga (x) ) = logb (x)
Vermutlich haben Sie diese Regel beim Rechnen mit Taschenrechner verwendet.
Beispiel: a = 10, b = e
ln(10) · lg(x) = ln(x)
lg(2) =
Folge:
→
lg(x) =
ln(2)
= 0, 3010299957...
ln(10)
Wegen des Satzes kann geschrieben werden:
O(log(n)) = O(loga (n))
ln(x)
ln(10)
Etwas Mathematik
Eine weitere Regel
Es gilt die Gleichung:
loga (b) =
1
logb (a)
Beispiel:
log2 (16) = 4
log16 (2) =
→
Denn es gilt:
1
16 4
=
p
4
16
=
2
1
4
Etwas Mathematik
Kann ein Computer richtig rechnen?
Wie rechnet ein Computer?
Warum muss man das wissen, wenn man mit einem Computer arbeitet?
Das wollen wir uns ansehen!
Zuerst rechnen wir etwas selbst.
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Etwas Mathematik
Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen
12 · 23 = ?
2
1
7
2
·
2
2
2
4
3
7
3
6
6
6
12·23 = (1·10+2)·(2·10+3) = 1·2·100+(1·3+2·2)·10+2·3 = 2·100+7·10+6 = 276
Etwas Mathematik
Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen
1
2
·
1
1
1
2
2
4
2
1
2
3
1
4
4
1
1
2
3
1
1
·
2
2
5
1
3
4
3
1
4
2
2
5
·
3
4
3
2
1
4
6
7
4
2
2
3
4
8
0
9
7
2
3
5
6
6
2
3
Berechnen Sie 12345 · 12345.
6
6
2
9
9
Mit einem Java-Programm kontrollieren
wir unsere Ergebnisse und berechnen
123456 · 123456.
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Etwas Mathematik
Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen
public class Mult01 {
public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) {
System . o u t . p r i n t l n ( 1 * 1 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 * 1 2 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 3 * 1 2 3 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 3 4 * 1 2 3 4 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 3 4 5 *1 2 3 4 5 ) ;
System . o u t . p r i n t l n (123456*123456);
}
}
Etwas Mathematik
Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen
public class Mult01 {
public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) {
System . o u t . p r i n t l n ( 1 * 1 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 * 1 2 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 3 * 1 2 3 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 3 4 * 1 2 3 4 ) ;
System . o u t . p r i n t l n ( 1 2 3 4 5 *1 2 3 4 5 ) ;
System . o u t . p r i n t l n (123456*123456);
}
}
Ausgabe:
1
144
15129
1522756
152399025
-1938485248
Das Quadrat einer Zahl ist nicht negativ. Hat sich der Computer verrechnet?
Etwas Mathematik
Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen
Wir sehen uns ein zweites Beispiel an:
public class Mult02 {
public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) {
i n t z = 256*256*256*128+2147483647;
System . o u t . p r i n t l n ( z * z ) ;
}
}
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 22 / 42
Etwas Mathematik
Beispiel: Multiplikation zweier Zahlen
Wir sehen uns ein zweites Beispiel an:
public class Mult02 {
public s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) {
i n t z = 256*256*256*128+2147483647;
System . o u t . p r i n t l n ( z * z ) ;
}
}
Ausgabe:
1
Hat sich der Computer schon wieder verrechnet?
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 22 / 42
Etwas Mathematik
Das nächste Beispiel: Kommazahlen können größere Werte annehmen
Java:
p u b l i c c l a s s Numerik {
p u b l i c s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) {
double a = 1 . 0 / 3 . 0 ,
b = 10.0+a −10.0 , c ;
i f ( a==b )
c = 0;
else
c = 1 / ( a−b ) ;
System . o u t . p r i n t f ( " %20.5 f%n " , c ) ;
}
}
Etwas Mathematik
Das nächste Beispiel: Kommazahlen können größere Werte annehmen
Java:
p u b l i c c l a s s Numerik {
p u b l i c s t a t i c void main ( S t r i n g [ ] args ) {
double a = 1 . 0 / 3 . 0 ,
b = 10.0+a −10.0 , c ;
i f ( a==b )
c = 0;
else
c = 1 / ( a−b ) ;
System . o u t . p r i n t f ( " %20.5 f%n " , c ) ;
}
}
Ausgabe: -1637672591771089.50000
- 1 Billiarde 637 Billionen 672 Milliarden 591 Millionen 771 Tausend und 89,5
korrekter Wert: 0
Kann der Computer nicht rechnen?
Etwas Mathematik
Frage
Gibt es weitere Fehler?
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 24 / 42
Etwas Mathematik
Fehler beim Programmieren
In Jahre 1999 wurde durch die Fehlfunktion eines Seitenairbags ein Baby
getötet.
Die Untersuchungen ergaben einen Softwarefehler:
Die Ausführungsreihenfolge zweier Anweisungen war vertauscht worden.
Der Fehler trat nur in der Software eines speziellen Fahrzeugmodells auf.
Es wurde vergessen, diese spezielle Software zu testen.
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 25 / 42
Etwas Mathematik
Fehler beim Programmieren
Richtige Reihenfolge:
airbag = ein;
if (kindersitz == belegt) {
airbag = aus;
}
Falsche Reihenfolge:
if (kindersitz == belegt) {
airbag = aus;
}
airbag = ein;
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 26 / 42
Etwas Mathematik
Ariane-Rakete
Bevor wir uns anschauen, wie es zu solchen Rechenfehlern kommt, sehen
wir uns eine Minute einen Film an.
Der Film zeigt den Start einer Ariane-Rakete.
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 27 / 42
Etwas Mathematik
Ariane-Rakete
Wikipedia:
The launch ended in failure due to an error in the software design
caused by inadequate protection from integer overflow. This resulted in
the rocket veering off its flight path 37 seconds after launch, beginning to
disintegrate under high aerodynamic forces, and finally self-destructing
by its automated flight termination system. The failure has become
known as one of the most infamous software bugs in history. The failure
resulted in a loss of more than US $ 370 million.
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 28 / 42
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Darstellung
12 = 1 · 101 + 2 · 100
=8+4+0+0
= 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20
= (1100)2
123 = 1 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100
= 64 + 32 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1
= 1 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20
= (1111011)2
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 29 / 42
Etwas Mathematik
Weitere Basen: Die Zahl 95
95 = 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 1 · 26 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 1 · 21 + +1 · 20
= (1011111)2
95 = 64 + 24 + 7
= 1 · 82 + 3 · 81 + 7 · 80
= (137)8
95 = 80 + 15
= 5 · 161 + 15 · 160
= (5F)16
Bei Basis 16: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Auch als: a,b,c,d,e,f.
Wichtige Basen für Java: 2, 8, 10, 16.
Basis 2: Binärzahl, Dualzahl. Basis 8: Oktalzahl. Basis 16: Hexadezimalzahl.
Etwas Mathematik
Die Darstellung der Zahl 95 in Java
System.out.println("
System.out.println("
System.out.println("
System.out.println("
System.out.println("
Binär: "+0b1011111);
Oktal: "+0137);
Dezimal: "+95);
Hexadezimal: "+0x5F);
Hexadezimal: "+0x5f);
4.–14. Oktober 2016 | Werner Struckmann | Etwas Mathematik | Seite 31 / 42
Etwas Mathematik
Weitere Basen: Die Zahl 95
Gelten die folgenden Darstellungen?
95 = (1011111)2
95 = (10112)3
95 = (1133)4
95 = (340)5
95 = (235)6
95 = (164)7
95 = (137)8
95 = (115)9
95 = (95)10
95 = (87)11
95 = (7B)12
95 = (74)13
95 = (6B)14
95 = (65)15
95 = (5F)16
95 = (5A)17
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Dualzahlen: Addition
+
+
1
1
0
1
2
3
1
1
1
0
1
0
2
3
5
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
Das exclusive Oder reicht also für die Addition.
Subtraktion, Multiplikation und Division werden auf die Addition zurückgeführt.
Das exclusive Oder ermöglicht also die bitweise Rechnung.
(10000111)2 = 1 · 27 + 1 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 128 + 4 + 2 + 1 = 135
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Dualzahlen: Multiplikation
1
2
·
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
·
0
1
0
1
1
2
2
4
2
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
(10010000)2 = 1 · 27 + 1 · 24 = 128 + 16 = 144
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Speicherung/Verarbeitung
Computer speichern Zahlen meistens als Dualzahlen.
Null oder Eins wird durch ein Bit repräsentiert.
Java: Der Datentyp int soll zum Rechnen mit ganzen Zahlen, d. h. mit Elementen
der Menge
Z = {. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
verwendet werden. Eine Zahl vom Typ int wird durch 32 Bits gespeichert.
32
Dadurch gehören 2 = 4 294 967 296 Zahlen zum Typ int. Java deckt damit den
31
31
Bereich von −2 = −2 147 483 648 bis 2 − 1 = 2 147 483 647 ab. Die Zahl
2 147 483 647 wird maxint genannt. Das Ergebnis der Multiplikation
123456 · 123456 ist 15 241 383 936. Diese Zahl ist größer als maxint und kann
daher nicht verarbeitet werden. Das obige Programm hat sich also schon bei einer
Multiplikation um
15 241 383 936 − (−1 938 485 248) = 17 179 869 184,
d. h. um 17 Milliarden 179 Millionen 869 Tausend 184 verrechnet.
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Speicherung/Verarbeitung
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ganze Zahlen als Dualzahlen zu speichern.
Eine sehen wir uns an, das. sog. Zweierkomplement:
maxint: 2 147 483 647 =
minint: −2 147 483 648 =
0
1
2
3
....
231 − 1
31
−2
31
−2 + 1
....
−3
−2
−1
0000....0000
0000....0001
0000....0010
0000....0011
............
0111....1111
1000....0000
1000....0001
............
1111....1101
1111....1110
1111....1111
Es geht bei 0000....0000 los. In jedem Schritt geht es um eins weiter. So macht
es zum Beispiel Java. Für den Datentyp int werden 32 Bits benutzt.
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Speicherung/Verarbeitung
Zugegeben: In Java gibt es den Datentyp long, der größere Zahlen
verarbeiten kann. Aber auch für diesen Datentyp gibt es eine Maximalzahl.
Nicht alle Programmiersprachen behandeln Zahlen gleich. Es kommt sogar
vor, dass eine Programmiersprache Zahlen auf verschiedenen Rechnern
unterschiedlich bearbeitet.
Computeralgebrasysteme, zum Beispiel Maple, behandeln Zahlen anders:
» 123456*123456;
15241383936
» z:=256*256*256*128+2147483647;
z:=4294967295
» z*z;
18446744065119617025
Fazit: Wenn man mit einem Computer arbeitet, muss man sich seine Sprache
und Rechner genau anschauen. Insbesondere also wie Zahlen gespeichert
werden und dargestellt werden können. Sonst kann es zu schweren Fehlern
führen.
Etwas Mathematik
Dezimalzahlen: Rationale Zahlen
Die Dezimalbruchentwicklung von rationalen Zahlen, d. h. von Elementen aus Q,
ist periodisch:
17
= 4,2500000...
4
= 4,250 = 4,25
15
= 2,142857142857142857142857142857...
7
= 2,142857
Die Dezimalbruchentwicklung von irrationalen Zahlen, d. h. von Elementen aus
R \ Q, ist nicht periodisch:
p
2 = 1,4142135623730950488016887...
π = 3,1415926535897932384626433...
e = 2,7182818284590452353602874...
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Rationale Zahlen
Die gleichen Aussagen gelten für Dualzahlen:
1
2
15
4
1
10
π
= 0,5000000... = 0,50 = (0,10)2 = (0,1)2
= 3,7500000... = 3,750 = (11,110)2 = (11,11)2
= 0,1 = 0,00011001100110011001100110011... = 0,00011
= 11.00100100001111110110101...
Wenn also endlich viele Bits zur Speicherung von rationalen Zahlen in der
Dualzahldarstellung benutzt werden, dann kann also nicht einmal die Zahl 0,1
korrekt gespeichert werden (→ Numerik).
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Subtraktion
Wie darf ein Computer subtrahieren? Die Subtraktion kann auf die Addition
zurückgeführt werden:
-
3
1
2
5
4
1
+
1
+
3
8
2
5
5
0
1
1
2
(Komplement von 14)
85 ergänzen die Ziffern von 14 auf 99.
Komplement:
k
k
b + b̄ = 10 − 1, 10 > b.
b = 10k − 1 − b̄
k
k
a − b = a − (10 − 1 − b̄) = a + b̄ − 10 + 1 (s. Beispiel)
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Subtraktion
35 − 14 = 21:
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
+
1
+
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
110001 ist das Komplement von 1110.
1
1
0
1
1
Etwas Mathematik
Dualzahlen: Division
13 : 8 = 1,625
5
1 0 1
= 1 + + + = (1,101)2
8
2 4 8
13 = (1101)2
13 : 8 = 1
8 = (1000)2
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
:
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
1,
1
0
1