Lösungen Juni

Lösungen Juni - Juli
Preisaufgabe (1./ 2. Klasse)
Um die gesuchten Zahlen zu finden, hilft eine Liste aller 45 möglichen Zahlenpaaren, die sich der
Lehrer ausgedacht haben könnte:
(1,1), (1,2), (1,3), …, (2,2), (2,3), (2,4),…,(8,8), (8,9), (9,9)
Zu jedem Zahlenpaar berechnet man die Summe und das Produkt.
Da Peter die zwei Zahlen nicht auf Anhieb kennt, kann man alle Zahlenpaare aus-schliessen, deren
Produkt nur ein Mal in der Liste vorkommt. Er könnte sonst vom Produkt direkt auf diese zwei
Zahlen schliessen. Es bleiben folgende Möglichkeiten:
Zahlenpaar
Produkt
Summe
1,4
1,6
1,8
1,9
2,2
2,3
2,4
2,6
2,8
2,9
3,3
3,4
3,6
3,8
4,4
4,6
4,9
6,6
4
6
8
9
4
6
8
12
16
18
9
12
18
24
16
24
36
36
5
7
9
10
4
5
6
8
10
11
6
7
9
11
8
10
13
12
(Beachte, dass jedes Produkt doppelt vorkommt.)
Da Simon aus der Summe nicht das Zahlenpaar herausfinden kann und schon weiss, dass aus
Peters Unkenntnis nur obige Liste übrig bleibt, können alle Zahlen mit einfach vorkommender
Summe gestrichen werden. Also kommen die Zahlenpaare (2,2), (4,9) und (6,6) nicht in Frage:
Zahlen-paar
Produkt
Summe
1,4
1,6
1,8
1,9
2,3
2,4
2,6
2,8
2,9
3,3
3,4
3,6
3,8
4,4
4,6
4
6
8
9
6
8
12
16
18
9
12
18
24
16
24
5
7
9
10
5
6
8
10
11
6
7
9
11
8
10
So gibt es wieder ein Zahlenpaar, dessen Produkt nur einfach vorkommt. Dieses Paar lässt sich
wiederum ausschliessen, da Peter die Zahlen auch beim zweiten Anlauf nicht kennt: (1,4)
Die Liste lässt sich so immer weiter reduzieren, bis man bei folgenden Möglichkeiten angelangt ist:
Zahlen-paar
Produkt
Summe
1,8
1,9
2,4
2,8
2,9
3,3
3,6
3,8
4,6
8
9
8
16
18
9
18
24
24
9
10
6
10
11
6
9
11
10
Da Peter nun sagt, er kenne jetzt das Zahlenpaar, muss die Lösung 2 und 8 sein. Alle anderen
Zahlenpaare haben immer noch ein Produkt, das nicht einzeln vorkommt. Darum könnte Peter zu
diesem Zeitpunkt nicht ein anderes Zahlenpaar herausfinden.
Lösung: 2 und 8.
Preis:
1. Patrice Kast U1a
Preisaufgabe (3./ 4. Klasse)
Lösung nach Janine Wetter (A3)
Das Dodekaeder besitzt 20 Ecken und 12 Flächen. Da an jeder Ecke eine der Zahlen von 1 bis 𝑛
stehen muss, gilt 𝑛 ≤ 20. Da jede Zahl gleich oft vorkommen soll, muss 𝑛 ein Teiler von 20 sein,
also 1, 2, 4, 5, 10 oder 20.
Ausserdem soll für jede Seitenfläche die Summe der Zahlen an ihren Ecken gleich gross sein. Für
diese Summe gilt die folgende Formel:
𝑠𝑛 =
20
𝑛
⋅ 3 ⋅ (1 + 2 + ⋯ + 𝑛) 5 ⋅ (1 + 2 + ⋯ + 𝑛) 5(𝑛 + 1)
=
=
𝑛
2
12
Der Faktor 3 kommt daher, dass sich an jeder Ecke 3 Flächen treffen. Da 𝑠𝑛 eine natürliche Zahl
sein muss, bleiben als Lösung nur die Zahlen 1 und 5 übrig.
Preise:
1. Janine Wetter, A3
2. Sarina Beetz, A3
Fr. 30.Fr. 20.-
Preisaufgabe (5./ 6. Klasse)
Ansatz: Die Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur 𝜗 im Tiefkühlgerät und der
Kellertemperatur (5°C) verringert sich exponentiell mit der Zeit 𝑡. Deshalb gilt:
𝜗 − 5 = −𝐴 ∙ 𝑏 𝑡
Dem Text entnimmt man zwei Bedingungen:
(1)
(2)
𝜗 = −18 zur Zeit t = 0
𝜗 = −15 zur Zeit t = 4
Dies liefert zwei Gleichungen und die beiden Konstanten A und b:
4
a)
b) :
20
A = 23 , b = �23
𝝑 = −𝟒. 𝟔𝟑°𝑪
𝒕 = 43.67 h
(in der Funktionsgleichung 𝑡 = 28 setzen)
(in der Funktionsgleichung 𝜗 = 0 setzen)
Preise:
1. Michelle Meier, U1f
2. Ramona Hinderling, U1f
Fr. 5.Fr. 5.-