WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG
Mathematischer Teil
In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu
tun, d.h. Ausgang nicht vorhersagbar.
Grundbegriffe
Zufallsexperiment und Ergebnisse

Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperiments heißt Ergebnis ω.

Die Menge
aller möglichen Ergebnisse eines
Zufallsexperiments heißt Ergebnisraum (Ergebnismenge), wobei
die
Mächtigkeit des Ergebnisraumes, die Anzahl der möglichen Ergebnisse in
angibt.
Bsp.: Ziehen aus einer Urne
8 Kugeln: 5 rot (r), 2 schwarz (s), 1 grün (g)
Ereignis

Jede Teilmenge des endlichen Ergebnisraumes
heißt Ereignis A d.h.
.

Ein Ereignis
, d.h. eine Teilmenge mit nur einem Ergebnis, heißt
Elementarereignis.

Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum
. Der Ereignisraum ist
die Menge aller möglichen Versuchsausgänge.
Bsp. Werfen eines Würfels und Feststellen der Augenzahl
Ereignis A: „Augenzahl gerade“
Bsp.
Gesucht sind alle möglichen Ereignisse, d.h. der Ereignisraum
(leere Menge = unmögliches Ereignis)
Ereignisraum schaut jetzt folgendermaßen aus
Kolmogorow (sowjetischer Mathematiker)– Axiome (1933)
Eine Funktion
, die jedem Ereignis
eine Wahrscheinlichkeit
P(A) (reelle Zahl) zwischen 0 und 1 zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung
über bzw. Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn für die Ereignisse
gelten:
1. Nichtnegativität:
Bsp.: Münzwurf: Zahl Wappen
2. Normiertheit:
Bsp.: Münzwurf: Zahl, Wappen
3. Additivität:
HERLEITUNG)
(FORMEL!!
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Ein Zufallsexperiment wird oft mit Hilfe einer Zufallsvariable beschrieben.
Eine Abbildung
reelle Zahl
, die jedem Ereignis
eines Zufallsexperiments eine
zuordnet, heißt Zufallsgröße Z oder Zufallsvariable
Zwei Arten von Zufallsexperimenten:
Diskrete Zufallsexperimente:
In diesem Fall ist der Ereignisraum diskret, d.h. die möglichen
Versuchsausgänge können abgezählt (bzw. durchnummeriert) werden. Die
Zufallsvariable nimmt nur einzelne diskrete Werte an. Beispiel: Augenzahl beim
Würfelwurf.
Die ZV kann auf endlichen viele Werte beschränkt sein oder unendlichen viele
mögliche Versuchsausgängen darstellen. Im zweiten Fall hat der Ereignisraum
unendlichen viele Elemente, ist aber abzählbar. (Eine Menge heißt abzählbar
unendlichen, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen
Zahlen. BSP: die Zahl, der auf eine Photoelement pro Zeiteinheit auftreffenden
Photonen (ist zwar nicht unendlich aber nach oben hin nicht begrenzt)
Die einfachste Möglichkeit, eine gegebene diskrete WK-Verteilung zu überblicken,
besteht in der graphischen Darstellung. Punktgraph
Beispiel z P(z)
z
P(z)
P(z)
z
Jedem möglichen Wert von z kann einer WK P(z) zugeordnet werden.
Kennzahlen
Der Erwartungswert der Zufallsvariable zi
<…> steht ganz allgemein für eine Mittelung über die zu erwartende
Realisierung.
Der Erwartungswert schaut in die Zukunft, d.h. er sagt aus, dass sich bei
sehr vielen Durchführungen des Zufallsexperiments ein Mittelwert <z>
einstellen wird.
Kontinuierliches Zufallsexperiment
In diesem Fall bilden die möglichen Versuchsausgänge (d.h. der
Ereignisraum) ein „Kontinuum“, d.h. die Mächtigkeit der reellen Zahlen.
Wir beschränken uns auf kontinuierliche Zufallsexperimente, deren
Ereignisraum die reellen Zahlen oder ein reelles Intervall ist.
Jedem einzelnen Versuchsausgang (d.h. jedem Elementarereignis) muss die WK
0 zugeordnet werden!
Wird etwa eine reelle Zufallszahl zw 0 und 1 erzeugt, und zwar derart, dass kein
Punkt dieses Intervalls bevorzugt ist, dann ist die WK, dass diese Zahl im
Intervall [a,b] liegt gleich b-a, d.h. gleich der Länge des Intervalls. Für einen
einzelnen vorgegebenen Punkt bleibt dann nur mehr 0 als WK übrig!
Im kontinuierlichen Fall muss also jedem Bereich eine WK zugeordnet werden,
nicht jedem Punkt. Dies geschieht mit Hilfe einer Funktion ROH, der
sogenannten WK-Dichte.
Die WK, dass ein konkreter Wert der ZV in einem gegebenen Bereich
liegt ist
G ist ein Ereignis.
Erwartungswert der Zufallsvariable x
Varianz
Die Varianz ist ein Maß für die gemittelte, quadratische Abweichung einer ZV
von deren Erwartungswert.
Sie weist eine Schwäche auf durch das Quadrat, weil die „Ausreisser“ stark
gewichtet werden. Diese Schwäche wird von der Standardabweichung
überwunden.
Standardabweichung (Streuung)
Die Standardabweichung ist mathematisch die Quadratwurzel der Varianz. Sie ist
der Mittelwert aller möglichen Abweichungen vom Erwartungswert.
Die Kennzahlen lassen sich auf beliebige Funktionen der ZV übertragen. f(x)
Physikalischer Teil
Die Wahrscheinlichkeit und die Physik
Im Gegensatz zur klassischen Physik, wo alle Vorgänge deterministisch sind, besagt die
Quantentheorie, dass sich Vorgänge nur durch Wahrscheinlichkeiten beschreiben lassen.
Die Väter der Kopenhagener Deutung der Quantenphysik sind Bohr und Heisenberg.
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
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gibt Aussagen über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in der Zukunft
beschreibt die Menge aller möglichen Vorgänge
Messung für die Bestimmung des Anfangszustandes nötig
Ungenauigkeit über die Kenntnis des Anfangszustandes
Der Messprozess
Heisenberg sagt, dass jede Messung das Messobjekt beeinflusst. Dadurch ergibt sich eine
neue Wellenfunktion:
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Messbar ist also nur ein diskreter Zustand.
Der Zustand zwischen zwei Messungen ist nicht bestimmt.
das Geschehen kann nur durch eine Messung beobachtet werden, es schließt nicht
die Zeit zwischen Messungen ein
zum Zeitpunkt der Messung wechselwirkt das gemessene Objekt mit der übrigen
Welt, vor allem mit dem Beobachter
die Beobachtung ändert die Wellenfunktion, sie kollabiert.
(Dies ist das vierte Grundgesetz der Messungen)
Einige Thesen der Kopenhagener Deutung
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Der Zufall ist eine grundlegende Eigenschaft der Naturgesetze
Wenn das Mögliche zum Faktischen übergeht, geschieht ein Quantensprung
Komplementäre Eigenschaften (Welle-Teilchen, Ort-Impuls) können nicht
gleichzeitig beobachtet werden
Nur die Ergebnisse von Messungen können als wahr angesehen werden
Was nicht gemessen wurde, kann nicht als wahr angesehen werden. Eine Aussage
über die Zeit zwischen den Messungen ist nicht möglich.
Reine Quantenzustände sind objektiv, aber nicht real
Quellenverzeichnis:
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http://th.physik.unifrankfurt.de/~giacosa/interpretationqmDateien/kopenhagen_d
guterding.pdf
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanik#Observable_und_Zust.C3.A4nde
http://www.soziales.fh-dortmund.de/diederichs/zitieren.htm