5. Impulserhaltungssatz und Stoßgesetze

5. Impulserhaltung und Stoßgesetze
5.1. Impuls und Kraftstoß
p = mv
Definition des Impulses
Das zweite Newtonsche Axiom ist eine Bilanzgleichung für den Impuls.
d d
F =
p =
(mv )
dt
dt
Die Impulsänderung ist gleich dem Kraftstoß.
dp = Fdt
p2
∫ dp = ∫ Fdt
p1
∆ p = p2 − p1 = ∫ Fdt
p2 = p1 + ∫ Fdt
5.2.Gesamtimpuls und Impulserhaltung
Betrachtet wird ein System von Punktmassen k = 1...n
Kraft auf die k-te Punktmasse Fk = Fak + Fik
Bewegungsgleichung für die k-te Punktmasse
Fk = Fak + Fik =
d d
pk =
mkvk )
(
dt
dt
n
Gesamtimpuls des Systems
p = pges = p1 + p2 + p3 + .... + pn = ∑ pk
k =1
Bewegungsgleichung für das System vom Punktmassen (Addition aller
Bewegungsgleichungen)
n
n
n
n
d pk
k =1 dt
d
dt
∑ pk
k 1
∑ Fk = ∑ Fak + ∑ Fik = ∑
k =1
n
k =1
n
k =1
∑ Fk = k∑1 Fak + 0
k 1
=
=
=
n
=
n
∑ Fak =
k =1
d d pges =
p
dt
dt
Impulserhaltung
n
d d wenn ∑ Fak = 0 ist (
pges =
p = 0 ) dann ist der Gesamtimpuls eine
dt
k =1
dt
Erhaltungsgröße
p = pges = p1 + p2 + p3 + .... + pn = p0 = const .
Experiment zum Vektorcharakter des Impulses: Geschütz auf Schiene
Der gerade elastische Stoß
Gegeben: m1, m2, v1, v2
Gesucht: v’1, v’2
Energieerhaltungssatz
m1
Impulserhaltungssatz
mv
+ m2v2 = mv
' + m2v '2
1 1
1 1
v1' =
v2' =
2 m2v2 + (m1 − m2 )v1
m1 + m2
2 m1v1 + ( m2 − m1 )v2
m1 + m2
2
v12 +
m2
2
v22 =
m1
2
v '12 +
m2
2
v '22
(1)
(2)
Beispiele:
m1 = m2
v1
v2
v1'
v'2
v1
v2
v2
v1
Austausch der Geschwindigkeiten
v1
0
0
v1
vollständige Energieübertragung
v1
−v1
−v1
v1
Reflexion der Kugeln
m1 ≠ m2
m2 = 2 m1
v1
m2 = 3 m1
v1
0
m1 << m2
v1
0
m1 >> m2
0
v1
1
3
− v1
2
v
3 1
1
1
v1
v1
2
2
− v1
0
−
0
v1
2v1
elastische Reflexion
Verdopplung der Geschwindigkeit der
kleinen Masse
Der gerade unelastische Stoß
Kennzeichen gemeinsame Geschwindigkeit beider Stoßpartner nach dem Stoß.
Gegeben: m1, m2, v1, v2
Gesucht: v’1 = v’2 =v’
Ein Teil der Energie wird in Verformungsarbeit umgewandelt, daher gilt nur der
Impulserhaltungssatz
mv
+ m2v2 = mv
' + m2v '2
1 1
1 1
Gemeinsame Geschwindigkeit beider Stoßpartner
v'=
mv
+ m2v2
1 1
m1 + m2
Energiebilanz fürv2 = 0:
Kinetische Energie vor dem Stoß
Kinetische Energie nach dem Stoß
Ekin =
m1
E 'kin =
2
v12
m1 + m2
2
2

m + m2  mv
1 1
v' = 1


2  m1 + m2 
2
E 'kin =
m1
m1 + m2
Ekin
Die kinetische Energie nach dem Stoß ist kleiner als die kinetische Energie vor dem
Stoß. Ein Teil der kinetischen Energie wurde in Verformungsarbeit Wv umgewandelt.

m1 
Wv = Ekin − E 'kin =  1 −
 Ekin
m
+
m

1
2 
 m2 
Wv = 
 Ekin
 m1 + m2 
Beispiel: Beim Schmieden sollen 95% der Energie des Hammers als Verformungsarbeit
genutzt werden. Wie viel schwerer muss der Amboss als der Hammer sein?
Hammer m1, v1
Amboss m2, v2 = 0
Wv  m2 
=
 = 0, 95
Ekin  m1 + m2 
m2 = 0,95 ( m1 + m2 )
m2 = 19m1
Der Amboss muss 19mal schwerer als der Hammer sein.