Kräfte und Bewegungen
Kräfte verursachen Veränderungen von Bewegungen. Wenn sich ein Körper in Ruhe oder in einer
gleichförmigen Bewegung befindet, müssen Kräfte wirken, um den Körper in Bewegung zu
versetzen oder um ihn zu beschleunigen. Auch die Veränderung der Bewegungsrichtung ist eine
Beschleunigung in die Richtung, die aus dem Zusammenwirken der Einzelkräfte resultiert.
Die dem zugrunde liegende Formel lautet:
F = m⋅a
Jede Kraft führt zu einer Beschleunigung einer Masse. Dabei ist immer die an einem Körper
anliegende resultierende Kraft gemeint.
Welche Kräfte können auf einen Körper wirken?
Zunächst wirkt die Gewichtskraft, d.h. die Kraft, die aufgrund der Masse und der Gravitation auf
einen Körper wirkt. Sie ist immer zum Mittelpunkt der Erde gerichtet. Berechnen lässt sie sich mit
der obigen Formel mit der Beschleunigung a = g = 9,81 m/s2 (in Mitteleuropa), der
Erdbeschleunigung oder dem Ortsfaktor.
F G = m⋅g
Bei Bewegungen wirkt auch immer eine Reibkraft, auch wenn sie in vielen Aufgaben vernachlässigt
wird. Die Reibkraft setzt sich zusammen aus der senkrecht auf die Unterlage wirkenden
Normalkraft FN und dem Reibkoeffizienten f, der je nach Materialpaarung Körper / Unterlage
bestimmte Werte annimmt.
F R = f⋅F N
Die Reibkraft ist der Bewegung immer entgegengerichtet.
Unterscheiden muss man nun noch die Art der Reibung. Je nach Bewegungszustand unterscheidet
man zwischen Haftreibung FRH, Gleitreibung FRG und Rollreibung FRR, die man mit Hilfe der
entsprechenden Reibkoeffizienten fH, fG bzw. fR bestimmen kann.
Haftreibung
Gleitreibung
Rollreibung
F RH = f H⋅F N
F RG = f G⋅F N
F RR = f R⋅F N
Die Größen der Reibkoeffizienten und damit der wirkenden Reibkräfte sind von der Haftreibung
über die Gleitreibung bis zur Rollreibung sortiert. Es ergibt sich
F RH  F RG  F RR
Zur Normalkraft FN
Auf ebener Unterlage wirkt die Gewichtskraft FG senkrecht nach unten und damit senkrecht auf die
Unterlage. Bei einer irgendwie geneigten Unterlage wird die nach unten gerichtete Gewichtskraft
FG aufgeteilt in eine senkrecht auf die Unterlage gerichtete Normalkraft FN und eine parallel zur
Unterlage gerichtete Hangabtriebskraft FH.
Aus der Zeichnung erkennt man:
F N = F G⋅cos  und F H = F G⋅sin 
Weitere Kräfte, die auf einen Körper wirken sind zum Beispiel Auftriebskräfte in Flüssigkeiten,
Kräfte aus dem Luftwiderstand, Zentripetalkräfte, magnetische oder elektrische Kräfte. Wichtig
ist, dass immer die resultierende Kraft aus allen an einem Körper angreifenden Kräften betrachtet
werden muss.
Welche Bewegungen gibt es nun?
Unterschieden wird i.A. zwischen der gleichförmigen Bewegung und der gleichmäßig
beschleunigten Bewegung. Bei der gleichförmigen Bewegung ist die resultierende Kraft, die auf
den Körper wirkt gleich Null. Damit ist auch die Beschleunigung des Körpers gleich Null und wir
wissen, dass sich der Bewegungszustand nicht verändert. Ein Körper in Ruhe bleibt in Ruhe, ein
Körper, der sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt, behält diese Geschwindigkeit bei.
Es gilt also: a = 0 und v = konstant.
Bei einer konstanten Geschwindigkeit verändert sich der Ort s eines Körpers in gleichen
Zeitintervallen ∆t immer gleich. Der Quotient aus Ortsveränderung und Zeitintervall ist konstant.
s
=: v
t
Dieser Proportionalitätsfaktor wird Geschwindigkeit v genannt. In einem t-s-Diagramm entspricht
die Steigung der Geraden der Geschwindigkeit v.
In dem Diagramm bezeichnen sE und sA die
Strecken am Ende bzw. Anfang der
Betrachtung. Entsprechendes gilt für tE und
tA.
s0 ist die zum Zeitpunkt t = 0 bereits
zurückgelegte Strecke.
Die zurückgelegte Strecke ist abhängig von
der Zeit. Also folgt allgemein für die
gleichförmige Bewegung:
st  = v⋅t  s 0
Im entsprechenden t-v-Diagramm wird die
konstante Geschwindigkeit mit einer
Waagerechten bezeichnet. Die Fläche, die
von der Geschwindigkeit v, der t-Achse und den beiden Zeitpunkten tA und tE eingerahmt wird, ist
ein Maß für die in dem Zeitintervall ∆t = tE – tA zurückgelegten Strecke.
Gibt es nun in der Bewegung eine gleichmäßige Beschleunigung, verändert sich die
Geschwindigkeit v mit der Zeit. Analog zu oben kann ein Proportionalitätsfaktor a aus dem
konstanten Quotienten
v
=: a
t
ermittelt werden: die Beschleunigung.
In dem t-v-Diagramm für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung bezeichnen vE , tE , vA und tA die
Geschwindigkeiten und die Zeitpunkte am Ende und am Anfang der Betrachtung.
Wir erhalten die Beschleunigung a aus der
Steigung der Geraden.
Liegt bei t = 0 bereits eine Geschwindigkeit v0
vor, so ergibt sich:
v t  = a⋅t  v 0
Wie bei der gleichförmigen Bewegung gilt
auch hier, dass die Fläche unter dem
Geschwindigkeitsverlauf der zurückgelegten
Strecke s(t) entspricht. Also kann man
schreiben:
st =
Wird nun noch ∆v(t) = (a·tE+v0) – (a·tA+v0) gesetzt, folgt:
1
 v t⋅ t  v A⋅t  s 0
2
st  =
1
  a⋅t E v 0 − a⋅t A v 0 ⋅t  v A⋅t  s0
2
1
st = a⋅t E −t A ⋅t  v A⋅ t  s 0
2
1
st = a⋅t 2  v A⋅ t  s 0
2
Mit tA = 0 folgt:
s t  =
1
a⋅t 2  v 0⋅t  s 0
2
Mit dieser Formel können auch die gleichförmigen Bewegungen betrachtet werden, da in dem Fall
a = 0 wird und so der quadratische Term nicht berücksichtigt wird. Die Anfangsgeschwindigkeit v0
wird Null gesetzt, wenn die Bewegung aus dem Stillstand heraus erfolgt. Die Anfangsstrecke s0
kann ebenfalls Null gesetzt werden, wenn es die Aufgabenstellung verlangt.
Etwas Mathematik:
Die Ableitung von s(t) nach der Zeit ist: lim
t  0
st =
s t E −s t A   s
=
= v also
t E −t A
t
1 2
a⋅t  v 0⋅t  s 0  s ' t  = v t  = a⋅t  v 0
2
und die Ableitung von v(t) nach der Zeit ist: lim
t  0
v t E −v t A   s
=
= a also
t E −t A
t
s ' ' t  = v ' t = a t  = a
Diagramme:
gleichförmige Bewegung
t-s-Diagramm
gleichmäßig beschleunigte Bewegung
t-v-Diagramm
t-s-Diagramm
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Kräfte und Bewegungen F = m⋅a FG = m⋅g FR = f⋅FN FRH > F RG