Übungsbeispiele Vektorrechnung im R3 1) geg.: Dreieck ABC: A(5/6/6), B(2/4/5), C(7/3/6) ges.: Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinkelig/gleichseitig/gleichschenkelig ist 2) Liegen die Punkte P(1/1/-12) und Q(-5/1/5) auf der Geraden g [A(2/1/-5), B(3/1/2)] ? 3) Berechne den Umfang des in einer Ebene liegenden Fünfecks ABCDE: A(2/-3/zA), B(3/-2/8), C(6/5/-2), D(0/3/3) und E(xE/0/8). 4) Berechne jene Punkte der Geraden g: X = (3/2/7) + t(1/-2/4), die vom auf der Geraden g liegenden Punkt P(xp/0/zP) den Abstand 2 ⋅ 21 haben. 5) geg.: Raute: Mittelpunkt M(5/-2/3), Eckpunkte A(12/-1/1), B(7/yB/9) ges.: Koordinaten von B,C,D, Flächeninhalt der Raute Hinweis: ARaute = e⋅2f 6) geg.: Quader ABCDEFGH: A(6/1/8), B(4/5/3), C(xC/3/3), E(xE/yE>0/zE), Volumen V = 270 ges.: C,D,E,F,G,H Anleitung: AB ⊥ BC Gleichung für xC ; V = AB ⋅ AD ⋅ AE =270 Höhe h = V G 7) Bestimme einen Einheitsvektor, der auf die Vektoren a =(-2/1/-2) und b =(3/3/1) normalsteht! 8) Überprüfe, dass die beiden Geraden g [A(2/0/-3), P(0/2/-9)] und h [B(1/6/4), Q(3/2/6)] einen Schnittpunkt S haben. Dieser ist dann der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC. Berechne C! Anleitung: S = 1 3 (A+B+C) umformen: 3S = A+B+C C = … 9) Untersuche die Lage der Geraden! Legen g und h eine Ebene fest? Wenn ja, gib ihre Gleichung an, wenn nicht, ändere die y-Koordinate von Q so ab, dass sie doch eine Ebene festlegen! a) g [A(-3/5/-2), B(7/1/0)] , h [ P(-4/5/9), Q(-7/6/14)] b) g [A(2/3/-1), B(3/1/2)] , h [ P(3/7/4), Q(0/13/-5)] c) g [A(1/-1/3), B(6/1/7)] , h [ P(3/2/5), Q(11/6/9)] d) g [A(2/5/-3), B(3/3/0)] , h [ P(0/-1/6), Q(7/-5/12)] 10) Der Punkt P(xp/-5/-1) liegt in der durch die Punkte A(3/-3/0), B(-2/2/5) und C(-4/0/4) festgelegten Ebene. Berechne xp! 11) Der Punkt P(-4/0/zp) liegt in der durch die Geraden g: X = (3/-1/2) + t(2/1/3) und h: X = (4/1/1) + u(4/2/6) festgelegten Ebene. Berechne zp! 12) geg.: rechteckige Pyramide ABCDS: Grundfläche: A(1/5/-2) , B(7/8/7), D(21/1/ zD ) Spitze S( xS / yS >0 / zS ) , Höhe h = 8 ⋅ 10 ges.: Koordinaten der Punkte C, D, S, Volumen V sowie Länge der Kante AS