Das ist kein Skript! 1 Elementare Kombinatorik

Das ist kein Skript!
Dennoch kann man hier sehen, welche Begriffe definiert wurden und welche Sätze bewiesen
wurden. Bei vielen Sätzen ist der Beweis skizziert, so dass diese Zusammenfassung ideal
für Studenten sein müsste, die die Vorlesung gründlich nachgearbeitet haben.
1
21.10.15
Elementare Kombinatorik
1.1 Endliche Mengen Definition enldicher Mengen, Vereinigung und Durchschnitt
Kardinalität einer endlichen Menge
Teilmengen einer Menge, die Potenzmenge P(M ) einer Menge M
Bijektion Teilmenge von M = {a1 , a2 , . . . , an } und Binärzahlen der Länge n
Satz: #P(M ) = 2#M .
Permutationen und n!
Die natürlichen Zahlen
√ und ndie
n vollständige Induktion
Stirlingformel: n! ≈ 2πn e (ohne Beweis.)
n 0 1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
11
n! 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3828800 39916800
Frage: Wieviele Stellen hat 1000! (Tipp: Stirlingsche Formel)
28.10.15
1.2 Binomialkoeffizienten Sei n ∈ N so defineieren wir


0
wenn k < 0 oder k > n
n
1
Definition 1:
=
wenn k = 0 oder k = n
 n−1
k
n−1
+ k−1
sonst.
k
n
Definition 2:
= Koeffizient von xk im Polynom (1 + x)n
k
n
Definition 3:
= Anzahl der k-elementigen Teilmengen von {1, 2, 3, . . . , n}
k
0
wenn k < 0 oder k > n
n
Definition 4:
=
n!
sonst.
k
(n−k)!·k!
Satz: Alle vier Definitionen stimmen überein.
Das Pascalsche Dreieck
Frage: Auf wieviele Arten lässt sich das Wort Binomialkoeffizient lesen?
Binomialkoe
inomialkoef
nomialkoeff
omialkoeffi
ialkoeffizi
alkoeffizie
lkoeffizien
koeffizient
n X
n
k
k=0
n
=2
n
X
n
= 0 wenn n > 0
(−1)
k
k=0
k
Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit im Lotto (6 aus 49)
Berechnung der Anzahl der 0er, 1er, ...,6er im Lotto
Prop.: Es gibt genau n−1
Möglichkeiten n Bonbons an k Kinder zu verteilen, so dass
k−1
jedes Kind mindestens ein Bonbon erhält.
Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es n Bonbons an k Kinder zu verteilen, ohne die
Bedingung, dass keines leer ausgeht?
11.11.15
1.4 Fibonacci Zahlen
Definition: F0 = 0, F1 = 1 und Fn+2 = Fn+1 + Fn . (Rekursive Definition)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Es gelten die folgenden Aussagen über die Fibonacci Zahlen:
n
X
= Fn+2 − 1
2|F3n
3|F4n
5|F5n a
k=0
Frage: Was ist die kleinste natürliche Zahl k > 0, so dass 7|fk·n für alle n ∈ N gilt?
Explizite Formel: Es gilt
1
Fn = √ (xn1 − xn2 )
5
Näherungsformel: Es gilt
2
18.11.15
25.11.15
mit
√
1+ 5
x1 =
2
√
1− 5
x2 =
.
2
xn
Fn ≈ √1 .
5
Der Ring Z/n · Z
2.1 Rechnen mit Resten
Die Äquivalenzrelation a ≡ b mod n.
Satz: Die folgenden Operationen von Restklassen sind wohldefiniert:
[a] + [b] := [a + b],
[a] − [b] := [a − b],
[a] · [b] := [a · b].
Definition: Nullteiler, Einheit und nilpotente Elemente.
Prop: Ist [a] ∈ Z/n · Z und [a] 6= [0], dann gilt [a] ist entweder Nullteiler oder Einheit.
Definition: ϕ(n) = #((Z/n · Z)∗ ).
Frage, was ist ϕ(1000)?
2.2 Primzahlen
Definition einer Primzahl: p ist Primzahl, wenn p genau zwei positive Teiler hat.
Satz: Jede natürliche
Zahl
Q
Q n ist als Produktvon Primzahlen darstellbar.
Satz: Gilt ni=1 pi = m
i=1 qi mit Primzahlen pi und qi mit p1 ≤ p2 ≤ . . . ≤ pn und
q1 ≤ q2 ≤ . . . ≤ qm , so gilt m = n und pi = qi für alle i = 1, . . . , n.
Folgerung: p|ab =⇒ p|a oder p|b.
Die Funktion π(n).
Prop.: Es gilt die elementare Abschätzung π(n) ≥ log4 (n). Insbesondere gibt es unendlich
viele Primzahlen.
Prop.: Es gibt beliebig lange Primzahllücken, also aufeinanderfolgende Zahlen von denen
keine eine Primzahl ist.
02.12.15
2.3 Der chinesische Restsatz
Lemma: Seien n und k natürliche Zahlen mit k|n, so ist die Abbildung Z/(nZ) → Z/(kZ)
mit [a]n 7→ [a]k ein wohldefinierter Ringhomomorphismus.
Satz (Chinesische Restsatz): Sind m und n teilerfremd so ist der Ringhomomorphismus
Z/(mnZ) → Z/(nZ) × Z/(mZ) ein Isomorphismus.
Folgerung: Sind m und n teilerfremd so gilt: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Lemma: Ist p Primzahl, so gilt ϕ(pk ) = pk − pk−1 .
Yp−1
.
Satz: ϕ(n) = n ·
p
p|n
Satz: (“Kleiner Fermat”): Ist [a] ∈ (Z/nZ)∗ , so gilt [a]ϕ(n) = [1].
Folgerung 1: Ist p Primzahl und [a] 6= [0], so gilt [a]p−1 = [1] in Z/pZ.
Folgerung 2: Ist p Primzahl, so gilt [a]p = [a] für alle [a] ∈ Z/pZ.
09.12.15
16.12.15
2.4 Der Euklidische Algorithmus
Inversenberechnung Methode 1 in Z/nZ: a1 = aϕ(n)−1 .
1
= 1371 = 1364 · 134 · 132 · 131 = 45 in Z/73Z.
Beispiel mit schnellem Potenzieren: 13
Definition und Beispiele von Idealen in Z.
Satz: Jedes Ideal I in Z ist von der Form (n) für ein eindeutiges n ∈ N.
Definition ggT(a, b).
Lemma: ggT(a, b) = ggT(b, a) = ggT(a−b, b) = ggT(a+b, b) = ggT(a−qb, b). Euklidischer
Algorithmus zur Berechnung des ggT und Beispiele
Satz: Sind a > b zwei natürliche Zahlen, so dass der Euklidische Algorithmus nach k
Schritten endet, so gilt a ≥ Fk+1 und b ≥ Fk .
Erweiterer Euklidischer Algorithmus zur Berechnung des ggT(a, b) und zum Auffinden
einer ganzzahligen Linearkombination ggT(a, b) = m · a + n · b.
Inversenberechnung Methode 2 in Z/nZ mittels Euklidischem Algorithmus
1
= (−746) in Z/2017Z.
Beispiel 73
2.5 Das RSA-Verfahren
Klassische Verschlüsselung mit gemeinsamen Schlüssel
Das RSA Verfahren
Vorbereitung:
p, q “große” Primzahlen, N = p · q
d teilerfremd zu ϕ(N ) = (p − 1)(q − 1)
mittels Euklidischem Algorithmus bestimmen wir ein e
mit d · e ≡ 1 mod ϕ(N )
Öffentlicher Schlüssel: (d, N )
Verschlüsseln:
m 7→ m̃ = md mod N
Übermitteln:
m̃
Entschlüsseln:
m̂ = m̃e mod N
Hintergrundinfos zu großen Primzahlen und probabilistischen Primzahltests
Codierung
Warum codieren?
Definition einer Metrik, die Hammingsche Metrik


1 0 0 1 1 1 0
ϕ =  0 1 0 0 1 1 1  : F72 → F32 .
0 0 1 1 0 1 1
K = ker(ϕ) = {(a + b + c, b + c + d, a + c + d, a, b, c, d) | a, b, c, d ∈ F2 } ⊂ F72
Frage: Was ist das minimale Gewicht eines Elememetes k ∈ K mit k 6= 0.
13.01.16
2.6 Codierung, der Hammingcode
Wiederholung/Definition: Lineare binäre Codes, Länge eines Codes, Informationslänge
und Informationsrate eines Codes
Erste Beispiele: Lineare Codes in F32
Definition: k-Fehler korrigierende Codes und k-Fehler-erkennende Codes
Definition der Hammingcode H7 := ker(ϕ)
Satz: Der Hammingcode H7 ist 1-Fehler korrigierend bei Informationsrate 74
Algorithmus zur “Korrektur” beim Hammingcode und ein Beispiel
Das “Schema für das faule Ei”
1
1 −
2 0
3 0
3
20.01.16
2
−
0
−
3
+
0
−
4
−
−
0
5
+
+
+
6
−
−
+
7
+
−
0
8
+
−
−
9 10 11 12
0 0 0 0
+ + + 0
0 + − +
Graphentheorie
3.1 Graphentheorie — 1 — Grundbegriffe
Definitionen von: Graphen G = (V, E) oder G = (V, E, ϕ), einfachen Graphen, Ordnung
|G| eines Graphen G, Größe e(G) eines Graphen G, Grad d(x) einer Ecke x, k-regulärer
Graph, Untergraph, Abbildung zwischen Graphen, Weg Pn der Länge n, Abstand d(x, y)
zwischen zwei Ecken, Zykel Ck der Länge k
P
Für einen Graphen G = (V, E) gilt die Formel:
d(x) = 2e(G).
x∈V
Satz: Sei G = (V, E) ein endlicher Graph und d(x) ≡ 0 mod 2 für alle x ∈ V , dann
m
S
existieren eine Zahl m und Zahlen {ki }i=1,...,m , sowie eine disjunkte Zerlegung E =
Ei ,
sowie Teilmengen Ei , so dass Cki ∼
= (Ei , Vi ) ⊂ G für alle i = 1, . . . , m gilt.
27.01.16
3.2 Erste Sätze
Satz (Cauchy): Sind a1 , a2 , . . . , an reelle Zahlen, so gilt stets
!2
n
n
X
X
ai
≤n
a2i .
i=1
i=1
i=1
Satz (Satz vom Dreieck): Ist G = (V, E) ein einfacher Graph der Ordnung n. Gilt dann
2
e = #(E) > n4 , so enthält G einen Zyklus C3 .
Definitionen: Baum, Wald, Zusammenhangskomponente, Brücke.
Satz: Ist G = (V, E) ein Wald, so existiert höchstens ein Pfad von x nach y für alle
x, y ∈ V .
Lemma: In einem Baum ist jede Kante eine Brücke.
Lemma: Ein zusammenhängender Graph ist Baum ⇐⇒ G ist zyklenfrei.
Lemma: Jeder zusammenhängende Graph enthält einen aufspannenden Baum.
03.02.16
3.3 Die Gewichtsformel für einfache Graphen der Ordnung n
Definition: Isomorphie von Graphen, Automorphismengruppe eines Graphen, Beispiele
Definition einer Gruppenwirkung auf einer Menge, Beispiele
Bahn und Stabilisator eines Elements, Beispiele
Die Bahnenformel: Sei Γ × X → X eine Gruppenwirkung einer endlichen Gruppe auf
einer Menge, so gilt
X #(G)
.
#(X) =
#(Gx )
x∈G/X
Satz (Gewichtsformel für Graphen) Es gilt für alle n ∈ N, dass
X
G, ord(G)=n
n
1
2( 2 )
=
.
#(Aut(G))
n!
Dabei wird auf der linken Seite über alle Isomorphieklassen von Graphen der Ordnung n
summiert.
Bemerkung: a3 = 34 , a10 = 137438953472
≈ 9695869,7334744268077, a30 ≈ 3, 3 · 1098 .
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