Übungsbeispiele

ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE
FÜR LAK
2 VU
Günter Lettl
WS 2015/16
Übungsbeispiele zum 1. Kapitel
Tr.1) Geben Sie Zahlen x, y ∈ R an, für welche die Gleichungen [x] + [y] = [x + y] und
[2x] = 2[x] falsch bzw. richtig sind!
Welche Ungleichungen zwischen den beiden Seiten der Gleichungen sind immer
richtig? (Beweis!)
Tr.2) Wählen Sie als n = JJJJM M T T ∈ N diejenige natürliche Zahl, die sich aus
Ihrem Geburtsdatum nach obigem Schema ergibt, und stellen Sie fest, ob diese
Zahl n durch 7, 10, 43, 198 bzw. 1024 teilbar ist. (Sie dürfen für die verschiedenen
Teiler auch verschiedene Methoden/Argumentationen wählen!)
1. Beweisen Sie die (in der Vorlesung nicht bewiesenen) Punkte von Satz 1. sowie
folgende Aussagen:
Sind a, b, c, d ∈ Z , so gilt:
i) a | b und c | d ⇒ ac | bd (Tip: Satz 1.d), f) verwenden)
ii) a | b ⇒ a | bc
Sind k ∈ N+ , a1 , . . . , ak , c1 , . . . , ck , d ∈ Z, so gilt:
P
(∀1 ≤ i ≤ k: d | ai ) ⇒ d ki=1 ci ai .
2. Geben Sie T (n), V (n) und τ (n) für n = −1, 21, −17, 72, 1000, 10000 an!
Tr.3) Beweisen Sie, dass für n ∈ N+ gilt: τ (n) = 1 ⇔ n = 1 !
Tr.4) Bestimmen Sie ggT(18, −45) und kgV(18, −45) !
3. Bestimmen Sie ggT(10728, 10733) und ggT(20835, 20840) !
Bestimmen Sie für beliebiges n ∈ Z und p ∈ P ggT(n, n + p) !
Tr.5) Bestimmen Sie ggT und kgV für folgende Zahlentupel: (−12, 42) , (81, 144, 45) ,
(108, −192) , (36, 150, −81, 16) !
4. Es seien n ∈ N+ und a ∈ Z. Beweisen Sie, dass (a − 1) | (an − 1) gilt!
Geben Sie ggT(a − 1, an − 1) für diejenigen a ∈ Z an, für die dies möglich ist!
(Bitte genau und vollständig beantworten!!)
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5. Es seien n ∈ N+ und a ∈ Z. Bestimmen Sie ggT(a + 1, an + 1). Für welche Werte
von a und n ist der ggT nicht definiert?
Bemerkung: Für gerade n ist die Aufgabe etwas schwieriger, vielleicht gelingt
Ihnen dennoch eine Lösung!
6. Welche der folgenden Diophantischen Gleichungen sind lösbar?
105X1 + 352X2 = 1
6930X − 1098Y = 36
3X1 − 12X2 + 10X3 = −5 ?
Tr.6) Wenden Sie Satz 3. auf die Zahlenpaare (a, b) = (150, 11), (−150, 11) und (0, −3)
an!
7. Es seien n = JJJJM M T T ∈ N die natürliche Zahl, die sich wie in Beispiel Tr.2
aus Ihrem Geburtsdatum ergibt, und m ∈ N Ihre Matrikelnummer als Student/in.
Bestimmen Sie alle c ∈ Z, für welche die lineare Diophantische Gleichung
nX + mY = c
lösbar ist, und geben Sie für einen solchen Wert von c auch eine Lösung der Gleichung in ganzen Zahlen an!
(Hinweis: Algorithmen von Euklid und Berlekamp)
Tr.7) Welche der folgenden Zahlen sind Primzahlen, welche zusammengesetzt:
19, 1, 57, 203, 23, 725193?
8. Das Sieb des Eratosthenes: (3. Jh. v. Chr)
Algorithmus zur Ermittlung aller Primzahlen zwischen 1 und 2 ≤ N ∈ N.
1. Schritt: Schreibe alle natürlichen Zahlen von 1 bis N auf!
2. Schritt: Streiche die ,,1”!
3. Schritt: Die kleinste nicht gestrichene bzw. nicht markierte Zahl ist eine
Primzahl p. Markiere Sie!
√
4. Schritt: Falls p ≤ N ist, streiche alle ,,echten” Vielfachen von p, also 2p, 3p,
4p, . . . .
√
5. Schritt: Falls p < N ist, setze mit dem 3. Schritt fort.
6. Schritt: Alle markieren bzw. nicht gestrichenen Zahlen sind Primzahlen. Alle
gestrichenen Zahlen sind zusammengesetzt oder 1.
Führen Sie diesen Algorithmus mit N = 3 und N = 50 durch. Erklären (beweisen) Sie, warum dieser Algorithmus tatsächlich das gewünschte Ergebnis liefert.
9. Bestimmen Sie mit einer Variante des Siebs von Eratosthenes alle Primzahlen
zwischen 400 und 530 (es sind 21 Stück). Welche Primzahlen müssen Sie dafür
bereits kennen? Bemühen Sie sich, möglichst wenige Zahlen ,,aufzuschreiben”!
Beschreiben Sie ,,Ihren Algorithmus” möglichst genau und vollständig!
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10. Bestimmen Sie alle n ∈ N, für welche das Tripel (n, n + 2, n + 4) aus 3 Primzahlen
besteht!
Tr.8) Geben Sie die Primfaktorisierung folgender Zahlen nach Satz 6. bzw. dessen
Varianten an: −256, 891, 59, −700000.
11. Es seien a = 25 · 53 · 111 · 173 , b = 24 · 32 · 57 · 115 und c = 29 · 34 · 52 · 112 · 292 .
Bestimmen Sie ggT(a, b, c) und kgV(a, b, c) !
12. Beweisen Sie für n ∈ N+ :
τ (n) ist genau dann ungerade, wenn n eine Quadratzahl ist!
Tr.9) Zeigen Sie mit einem Gegenbeispiel, dass Satz 7.b) ohne die Voraussetzung q ∈ P
falsch ist!
Tr.10) Geben Sie 3 natürliche Zahlen an, die zueinander teilerfremd, aber nicht paarweise
relativ prim sind!
13. Eindeutige Faktorisierung ist nicht selbstverständlich!
Es sei A = {1 + 3k | k ∈ N} = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, . . . }. Teilbarkeit in
A wird mit Definition 1. der Vorlesung definiert, wobei man Z durch A ersetzt!
i) Zeigen Sie, dass das Produkt von je zwei Zahlen aus A wieder ein Element
von A ist, und dass 100 und 220 Elemente von A sind!
ii) Zeigen Sie, dass sich die Zahlen 100 und 220 auf verschiedene Arten als
Produkte von Zahlen aus A \ {1} schreiben lassen, wobei die einzelnen Faktoren
nicht mehr weiter als Produkte von Zahlen aus A \ {1} zerlegt werden können!
iii) Für a ∈ A sei T ∗ (a) die Menge aller Teiler von a in der Menge A. Bestimmen
Sie T ∗ (100), T ∗ (220) und T ∗ (100) ∩ T ∗ (220). Läßt sich in A auf sinnvolle Weise
ggT(100, 220) definieren?
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14. Berechnen Sie ,,möglichst einfach” die reduzierte Bruchdarstellung von r = 70
+ 63
.
Wofür benötigen Sie dabei ggT bzw. kgV?
Formulieren Sie ein ,,allgemeines Rezept” für diese Rechnung (d. h.: r = ab + dc ).
Tr.11) Wieso muß bei Satz 10. vorausgesetzt werden, dass r in der reduzierten Bruchdarstellung vorliegt?
Geben Sie alle rationalen Zahlen an, die Nullstellen folgender Polynome sein
könnten, und stellen Sie fest, welche davon tatsächlich Nullstellen sind:
f = 9X 2 − 3X + 2, f = 15X 6 − 44, f = 4X 4 + 3X 2 − 1.
15. Beweisen Sie Satz 11 der Vorlesung!
16. Geben Sie für die ersten beiden Gleichungen aus Beispiel 6. die gesamte Lösungsmenge an!
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17. Es sei n ∈ N+ eine natürliche Zahl. Wie viele Primzahlen können höchstens zwischen 30n und 30(n + 1) liegen?
n
18. Für n ≥ 0 sei Fn = 2(2 ) + 1 die n-te Fermatzahl.
i) Beweisen Sie, dass für n ≥ 1 gilt: Fn − 2 = F0 F1 . . . Fn−1 .
ii) Beweisen Sie mit Hilfe von i): für 0 ≤ m < n gilt ggT(Fm , Fn ) = 1.
iii) Verwenden Sie ii), um einen anderen Beweis für Satz 5 der Vorlesung zu
geben (wählen Sie Primzahlen pi mit pi | Fi ).
Zusatzbeispiel für Interessierte:
Für eine Teilmenge M ⊂ N sei
X
Σ(M ) := {
m|∅=
6 M0 ⊂ M und #M0 < ∞}
m∈M0
die Menge aller natürlichen Zahlen, die man als endliche Summe von verschiedenen Zahlen
aus der Menge M darstellen kann.
Beweisen Sie folgenden ,,Satz von Richert” (1950):
Es sei M = {mi | i ∈ N} mit mi ∈ N und mi < mi+1 ≤ 2mi für alle i ∈ N.
Existieren a, k ∈ N derart, daß {a + 1, a + 2, . . . , a + mk+1 } ⊂ Σ({m1 , m2 , . . . , mk }), so
gilt: {n ∈ N | a + 1 ≤ n} ⊂ Σ(M ).
Verwenden Sie das Bertrand’sche Postulat und den Satz von Richert, um zu zeigen:
jede natürliche Zahl n > 6 läßt sich als Summe von verschiedenen Primzahlen darstellen.
(Die Summe darf auch nur aus einem Summanden zu bestehen!)