Korrespondenzzirkel MATHEMATIK 2006/2007 SERIE 5 5.1 5.2 5.3

Korrespondenzzirkel
MATHEMATIK
SERIE 5
2006/2007
Termin: 27.03.2007
Rücksendung an:
Stefan Schäfer, IOW, Seestraße 15, 18119 Rostock
5.1
Beweisen Sie, dass in jedem Dreieck ABC für die Seitenlängen a = BC, b = AC, c = AB und die
Länge sa der Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt A und dem Mittelpunkt M der Strecke
BC die folgende Beziehung gilt!
sa =
1p 2
2(b + c2 ) − a2
2
5.2
Es sei ABC ein beliebiges Dreieck. Darin sei F ein von B und C verschiedener Punkt der Strecke BC, und E sein ein von A und C verschiedener Punkt der Strecke AC. Ferner sei P der
Schnittpunkt der Strecken AF und BE.
Beweisen Sie, dass unter diesen Voraussetzungen die Umkreise der drei Dreiecke AF C, EBC und
P F B stets genau einen Punkt gemeinsam haben!
5.3
Man ermittle alle diejenigen positiven natürlichen Zahlen n, die die folgende Eigenschaft haben:
Im abgeschlossenen Intervall [2n , 2n+1 ] befindet sich mindestens eine durch n3 teilbare natürliche
Zahl.
5.4
Beweisen Sie, dass es unter allen Zerlegungen
100 = z1 · z2 · . . . · zn
der Zahl 100 in reelle Faktoren zi ≥ 2 (i = 1, . . . , n; n positiv ganzzahlig) eine Zerlegung gibt, für
die die Summe
s = z1 + z2 + . . . + zn
einen kleinstmöglichen Wert hat! Ermitteln Sie eine solche Zerlegung!
5.5
Zu einer Feier erscheinen fünf Gäste. Der Gastgeber stellt fest, dass unter je drei von diesen Gästen
stets zwei sind, die sich wechselseitig kennen, und zwei, die sich nicht kennen. Man beweise, dass
der Gastgeber seine fünf Gäste so an einen runden Tisch setzen kann, dass an beiden Seiten jedes
Gastes Bekannte dieses Gastes sitzen!