Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Taylor

Potenzreihen II
Aufstellen, Rechenregeln
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Taylor-Polynome vom Grad 3 zur Entwicklungsstelle x0 = 0:
cos x
sin x
ln(1 + x)
b) g(x) = x
a) f (x) =
c) h(x) =
1−x
e
1 − x2
Aufgabe 2: Stellen Sie die folgenden Funktionen mittels Potenzreihen dar und geben Sie den
1
zugehörigen Konvergenzbereich an. Die Potenzreihen der beiden Funktionen cos x und 1−x
können Sie als bekannt voraussetzen.
2
x
a) f1 (x) = x · cos
b) f2 (x) = ln(1 − x2 )
c) f3 (x) = x arctan x
2
Aufgabe 3: Berechnen Sie die Potenzreihe der Funktion
1 2
f (x) = e− 2 x
um den Entwicklungspunkt x0 = 0 bis zur Ordnung x6 . Berechnen Sie damit einen Näherungswert
für das Integral
Z
1 2
e− 2 x dx
Aufgabe 4: Stellen Sie die folgenden Funktionen als Potenzreihen um den Entwicklungspunkt x0 dar:
1
a) f1 (x) = ; x0 = 1
b) f2 (x) = ex ; x0 = −1
x
Aufgabe 5: Für welche reellen Zahlen x konvergieren die folgenden Potenzreihen?
∞ 2k
∞
∞
P
P
P
x
x k
kxk
b)
a)
c)
k
3k
d)
k=0
∞
P
k=1
x2k
k!
e)
k=0
∞
P
k! · x
k
f)
k=1
Tipp für b) und d): Substitution u = x
k=1
∞
P
(−1)k ·
k=1
2k
k
(x − 1)k
2
Aufgabe 6: Bestimmen Sie durch Potenzreihenentwicklung die folgenden Grenzwerte:
ln(1 − 3x)
sin x2
a) lim
a) lim
x→0
x→0 ln(1 + x2 )
x
1 − cos x2
und
x→0
x2
Aufgabe 7: Berechnen Sie durch Potenzreihenentwicklung den Grenzwert lim
geben Sie einen Näherungswert für das Integral
mindestens 5 · 10−3 an.
1
R1 1 − cos x2
dx mit einer Genauigkeit von
x2
0