1 VWL II (Mikroökonomie), Prof. Dr. Manfred J. Holler, SoSe 2009

VWL II (Mikroökonomie), Prof. Dr. Manfred J. Holler, SoSe 2009
Übungsblatt 9
Aufgabe 1)
Die Kostenfunktion für die Produktion eines Gutes y laute c(y) = 10y. Die Nachfrage ist
durch die Funktion D(p) = 100 - p beschrieben.
Wie lautet das Marktergebnis (Preise und Mengen), falls zwei Anbieter auf dem Markt
von y sind und über Preise konkurrieren?
Lösung:
Es handelt sich um ein Bertrand-Duopol. Beide Unternehmen werden gegenseitig die
Preise zu unterbieten versuchen, bis Preis = Grenzkosten gilt. In diesem Fall also p =
10. Bei diesem Preis werden 90 Einheiten am Markt abgesetzt.
Aufgabe 2) (Teil einer alten Klausuraufgabe)
Ein Markt ist durch die Nachfragefunktion x = a – p beschrieben. Die Kosten der
Anbieter seien (kurzfristig) gleich Null.
a) Wie groß sind Preis, Menge und Gewinne, wenn nur zwei Anbieter, 1 und 2, auf dem
Markt sind, diese ihre Gewinne maximieren und (simultane) Mengenpolitik betreiben?
b) Wie groß sind Preis, Menge und Gewinne, wenn sich die beiden Anbieter zu einem
Kartell zusammenschließen und ihre gemeinsamen Gewinne maximieren?
Lösung:
a) Es handelt sich hier um Cournot-Wettbewerb. Aus der Nachfrage folgt die inverse
Nachfrage p = a – x oder p = a – (y1 + y2). Unternehmen 1 maximiert seinen Gewinn
unter Berücksichtigung dieser Marktnachfrage:
π 1 = py1 − c( y1 ) = (a − ( y1 + y2 )) y1
∂π 1
∂y1
= a − 2 y1 − y2 = 0
Aus der obigen Gleichung folgt, dass y2 = a – 2y1. Dies ist die Reaktionsfunktion.
Analoges Vorgehen für Unternehmen 2 liefert y1 = a – 2y2. Setzt man in y1 das
vorherige Ergebnis ein, so erhält man y1 = y2 = a/3.
Ebenso folgt:
1
a a
=
3 3
a a a²
π1 = π 2 = ⋅ =
3 3 9
p = a−2
b) Schließen sich die beiden zu einem Kartell zusammen, dann maximieren sie die
Summe der Gewinne. Diese ergibt sich als py1 + py2 = p(y1 + y2). Maximiert wird nach
der Gesamtmenge, also (y1 + y2). Es wird angenommen, dass beide Unternehmen
jeweils gleich viel produzieren werden:
∂π
a
= a − 2( y1 + y2 ) = 0 ⇒ ( y1 + y2 ) =
∂ ( y1 + y2 )
2
a a
=
2 2
a
a
a²
⇒ πi = ⋅ 2 =
2 2
8
⇒ p =a−
Aufgabe 3) (Teil einer alten Klausuraufgabe)
Ein Stahlwerk S produziert Stahl der Menge s und Abfall der Menge a. Seine
Kostenfunktion ist cs(s,a) = s2 + (a−3)2. Der geltende Weltmarktpreis für Stahl ist ps = 8,
und S ist ein Mengenanpasser (also Preisnehmer). Der Preis für a ist 0.
a) Wie hoch sind s, a und der Gewinn πS von S, wenn S seinen Gewinn maximiert?
Der Abfall a beeinträchtigt die Produktion einer nahegelegenen Fischerei F. Deren
Kostenfunktion ist cf(f,a) = f2 + 2a, wobei f die Menge des produzierten Fisches ist. pf =
6 ist der Preis für Fisch. F ist Mengenanpasser.
b) Wie hoch sind f und der Gewinn πF von F, wenn F seinen Gewinn maximiert?
c) Wie hoch ist der Gewinn, wenn S und F kooperieren und den gemeinsamen Gewinn
π° maximieren?
Lösung:
a)
π s = ps s − s ² − (a − 3)²
∂π s
= ps − 2 s = 0 ⇔ s = 4
∂s
∂π s
= −2(a − 3) = 0 ⇔ a = 3
∂a
⇒ π s = 16
2
b)
π f = p f f − f ² − 2a
∂π f
= pf − 2 f = 0 ⇒ f = 3
∂f
a = 3 (exogen für Fischer )
⇒πf =3
c)
π° = πs +π f
∂π °
= −2(a − 3) − 2 = 0 ⇒ a = 2
∂a
∂π ° ∂π s
=
⇒s=4
∂s
∂s
∂π ° ∂π f
=
⇒ f =3
∂f
∂f
⇒ π ° = 20
3