MATHEMATIK - Uni Kassel

Dr. Jürgen Senger
MATHEMATIK
Grundlagen für Ökonomen
ÜBUNG 5.6 - LÖSUNGEN
1.
a.
Konsumentenrente
Beim Marktpreis p0 = 20 wird die Menge x0 = 30 nachgefragt
20 = 80 − 2 x
2 x = 80 − 20
x0 = 60 = 30
2
Die Konsumentenrente beträgt
Rc =
=
x0
30
0
0
∫ pd ( x) dx − p0 x0 = ∫ (80 − 2 x) dx − 20 ⋅ 30
[
]
30
80 x − x 2 0
− 600
= (2400 − 900) − 600
= 1500 − 600
= 900
Die Konsumenten wären bereit 1.500 GE für die Menge x0 = 30 zu zahlen,
müssen aber nur 600 GE zahlen. Sie erzielen also einen geldwerten Vorteil
(benefits) in Höhe von 900 GE.
b.
Produzentenrente
Beim Marktpreis p0 = 20 wird die Menge x0 = 14,14 angeboten
1 2
20 = 10
x
x 2 = 200
x0 = 200 = 14,14
Der Preis p0 = 20 ist also kein Gleichgewichtspreis. Die angebotenen und
nachgefragten Mengen stimmen nicht überein!
ÜBUNG 5.6 - LÖSUNGEN
2
Produzentenrente:
R p = p 0 ⋅ x0 −
x0
∫
14,14
p s ( x) dx = 20 ⋅14,14 −
0
∫
0
= 282,8 −  1 x 3 
 30 
1 x 2 dx
10
14,14
0
2828
30
= 282,8 − 94,27
= 282,8 −
= 188, 5 3
Der Erlös der Produzenten beträgt 282,8 GE, ihre Kosten, die sie mindestens
für die Menge x0 = 14,14 erlösen müssen, aber nur 94,27 GE. Sie erzielen also
einen Gewinn in Höhe der Differenz.
p
p
80
80
70
70
pd = 80 − 2 x
60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
0
c.
60
10
20
30
40
x
0
1 2
p s = 10
x
10
20
30
40
x
Wohlfahrtsgewinn im Marktgleichgewicht
Zuerst muß das Marktgleichgewicht berechnet werden. Wir setzen die Angebots- und Nachfragepreisfunktionen gleich und lösen die quadratische Gleichung, die sich daraus ergibt, mit Hilfe der pq-Formel:
x2
= 80 − 2 x
10
x2
+ 2 x − 80 = 0
10
x 2 + 20 x − 800 = 0
x = − 10 ± 100 + 800
= − 10 ± 30
SENGER - Mathematik - 12.10.05
ÜBUNG 5.6 - LÖSUNGEN
3
Wegen der Vorzeichenbeschränkung, der die Mengen unterliegen, ist nur der
positive Wert zulässig. Die Gleichgewichtsmenge beträgt also
x0 = 20
und der Gleichgewichtspreis
p0 = 80 − 2 ⋅ 20 = 40
Wohlfahrtsgewinn im Marktgleichgewicht:
∆W =
=
80
x0
∫ ( pd ( x) − ps ( x)) dx
0
x0
∫
0
70
2 

 80 − 2 x − x  dx

10 

1 3

=  80 x − x 2 −
x
30 

= 1600 − 400 −
50
x 0 = 20
40
0
30
8000
30
20
0
T
E = ∫ Re − it dt = lim ∫ Re − it dt
T →∞
0
0
T
 R

= lim − e − it 
T →∞  i
0
= lim −
T →∞
= lim
T →∞
=
SENGER - Mathematik - 12.10.05
pd = 80 − 2 x
10
Ertragswert
∞
1 2
p s = 10
x
60
= 1200 − 266, 6
= 933,33
2.
p
R − iT
( e −{
e0 )
i
=1
R
− iT
(1 − e{
)
i
→0
R 5.000
=
= 100.000
0,05
i
10
20
30
40
x
ÜBUNG 5.6 - LÖSUNGEN
3.
4
Dichtefunktion (Exponentialverteilung)
∞
∫
−∞
∞
f ( x) dx = ∫ λe − λx dx
f (x)
0
b
∫ λe
b→∞
= lim
− λx
0.5
dx
0
b
 1 − λx 
= lim λ
e 
b→∞  − λ
0
[
= lim − e − λx
b→∞
]
b
0
0.4
∞
0.3
0
∫ λe
− λx
dx = 1; λ = 0, 5
0.2
= lim (−e − λb + e 0 )
b→∞
0.1
= lim (−e − λb ) + 1
b→∞
=
4.
0
+1
0
1
2
3
4
Verbrauchsrate einer nichtregenerierbaren natürlichen Ressource
∞
B = ∫ R e rt dt
0
T
∫ Re
T →∞
= lim
rt
dt
0
T
 1

= lim  R e rt 
T →∞  r
0
R rT
(e − {
er0 )
T →∞ r
=1
R rT
( e − 1)
= lim
T →∞ r {
→ 0 wenn r < 0
R
=−
für r < 0
r
= lim
Der Verbrauch müßte jährlich mit der Rate r sinken:
r =−
R
72
=−
= − 0, 008 < 0
B
9000
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5
x
ÜBUNG 5.6 - LÖSUNGEN
5.
5
Kostenfunktion
K ( x) = ∫ K ′( x) dx
= ∫ ( 0,3 x 2 −12 x + 200 ) dx
= 0,3
x3
x2
− 12
+ 200 x + C
3
2
= 0,1 x 3 − 6 x 2 + 200 x + C
Mit Hilfe der Randbedingung K(50) = 8500 wird die Integrationskonstante berechnet
K (50) = 0,1 ⋅ 503 − 6 ⋅ 50 2 + 200 ⋅ 50 + C = 8.500
= 5 ⋅ 2.500 − 6 ⋅ 2.500 + 10.000 + C = 8.500
C = 1.000
Damit ergibt sich die Kostenfunktion
K ( x) = 0,1 x 3 − 6 x 2 + 200 x + 1.000
K'
400
K
10000
K(x)
K'(x)
300
8000
Kv(x)
6000
200
4000
100
0
Kv(x)
10
20
30
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40
2000
50
x
0
x
10
20
30
40
50