Serie 3 - ETH Zürich

d-infk
Prof. Dr. Özlem Imamoglu
ETH Zürich
FS 2017
Analysis I
Serie 3
3.1. MC Frage: Häufungspunkte einer Folge Sei (an )n eine beschränkte Folge
in R, und sei H die Menge ihrer Häufungspunkte. Dann:
gilt es immer H 6= ∅;
H ist immer endlich;
es ist möglich, dass H unendlich ist;
falls x ∈
/ H, existiert δ > 0 so, dass (x − δ, x + δ) ∩ H = ∅.
3.2. (schriftlich) Grenzwerte mit der Eulersche Zahl Berechnen Sie, falls
existent, die folgende Grenzwerte:
1 n
,
lim
1
+
n→∞
n2
2
1 n
,
lim 1 +
n→∞
n
xn
für x > 1,
lim
n→∞ n!
(a)
(c)
(e)
1 n
(b) n→∞
lim a +
für a > 1,
n
n!
(d) lim n ,
n→∞ n
1 n!
(f) lim 1 + n
.
n→∞
n
3.3. Wachstumsraten Seien x > 1, α > 0 fixiert. Wir betrachten, für n ≥ 1, die
wachsende Folgen:
n!,
xn ,
nα ,
nn .
Können Sie diese der Grösse nach sortieren, wenn n gross genug ist? Ergänzen Sie die
folgende Ungleichungskette:
nα ≤ . . . . . . ≤ . . . . . . ≤ . . . . . .
∀n ≥ N0 ,
für geeignetes N0 ∈ N.
3.4. Induktive Folge
(a) Sei (an )n die Folge induktiv definiert durch:
√
a0 = 2,
√
an+1 = 2 + an für n ≥ 1.
(i) Beweisen Sie, dass (an )n von oben durch 2 beschränkt ist.
(ii) Berechnen Sie, falls existent, den Grenzwert von (an )n .
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(b) Sei (an )n die Folge induktiv definiert durch:
a0 = 1,
an+1 =
an
an + 1
für n ≥ 1.
Beweisen Sie, dass limn→∞ an = 0.
Tipp: Induktive Folge untersucht man mit Induktion.
3.5. Gerade und ungerade Teilfolgen Sei (an )n eine Folge reellen Zahlen. Beweisen Sie, dass die folgende Sätze äquivalent sind:
(i) Es existieren limn→∞ a2n und limn→∞ a2n+1 und es gilt
lim a2n = lim a2n+1 ;
n→∞
n→∞
(ii) (an )n ist konvergent.
3.6. Konvergente Teilfolge Sei (an )n eine Folge in R. Beweisen Sie, dass die
folgende Sätze äquivalent sind:
(i) (an )n ist konvergent;
(ii) jede Teilfolge von (an )n ist konvergent.
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