Ubungsblatt 5 zur Vorlesung Analysis I - Ruhr

Übungsblatt 5 zur Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Holger Dette
Dominik Tomecki
WS 2015/2016
Abgabe bis Montag, den 30.11.15 um 10:00 in den Zettelkästen auf NA 02.
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Bestimmen Sie die Grenzwerte dieser Folgen für n → ∞ (mit Beweis!):
i) n−k für k ∈ N0 .
ii)
iii)
−2n3 +n5 +16n−9
.
n4 +3n3 +2n5 +12n+3
2n
.
1 + n1
√
iv) n( 1 + n−1 − 1).
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
Es sei an eine reelle Folge und a ∈ R. Beweisen Sie (mittels Ringschluss), dass die folgenden Aussagen
äquivalent sind:
i) lim an = a.
n→∞
ii) lim |an − a| = 0.
n→∞
iii) ∀m ∈ N ∃n0 (m) ∈ N ∀n ≥ n0 (m) : |an − a| <
1
m.
iv) ∀ > 0 ∃n0 () ∈ N ∀n ≥ n0 () : |an − a| ≤ .
Aufgabe 3.
(3 Punkte)
Es seien a ≤ b reelle Zahlen und λ ∈ 0,
1
2
. Wir definieren rekursiv die Folgen:
a0 = a
an = (1 − λ)an−1 + λbn−1 für n > 0
b0 = b
bn = (1 − λ)bn−1 + λan−1 für n > 0
Beweisen Sie, dass [an , bn ] eine Intervallschachtelung ist. Bestimmen Sie außerdem (mit Beweis) die
Zahl x ∈ R, die x ∈ [an , bn ] für alle n ∈ N0 erfüllt.
Aufgabe 4.
(5 Punkte)
Wir betrachten die Funktion
f:
R+
→
0
x 7→
R+
0
x+2
x+1
und die Folge an , die durch a0 = 0 und an = f (an−1 ) für n > 0 gegeben ist. Beweisen Sie:
i) f ([0, 2]) ⊂ [0, 2]. Folgern Sie daraus, dass 0 ≤ an ≤ 2 für alle n ∈ N gilt.
ii) Die Folge bn := a2n ist monoton wachsend und cn := a2n+1 ist monoton fallend.
iii) bn und cn sind konvergent. Geben sie außerdem die Grenzwerte an.
iv) an ist konvergent.
B Hinweis: Die Zettel können in Gruppen von bis zu drei Studenten abgegeben werden. Verwenden Sie
für jede Aufgabe ein eigenes Blatt und tackern ggf. mehrseitige Lösungen einer einzelnen Aufgabe zusammen. Notieren Sie außerdem auf jedem Zettel die Namen und Matrikelnummern aller Beteiligten, sowie die
Nummer der Übungsgruppe. Dort erfolgt dann die Rückgabe der Zettel.