Blatt X P¨U

Analysis I
WS 2016/2017
Vorlesung: Prof. Yu. Kondratiev
Übungen: Dr. O. Kutovyi
Blatt X PÜ
Keine Abgabe
Aufgabe 43 Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(a) (Cauchysches Verdichtungskriterium) Sei {an }∞
n=1 eine monoton
P∞ fallende
Folge von nicht-negativen reellen Zahlen.
ist die Reihe n=1 an konP Dann
k
vergent genau dann, wenn die Reihe ∞
2
a
k
2 konvergent ist.
k=0
Pn
Tipp: Setzen Sie Sn = k=1 ak und beweisen zunächst, dass
1 k+1
2 a2k+1 ≤ S2k+1 − S2k ≤ 2k a2k .
2
P
1
(b) ( Dirichlet-Reihe) Sei p ∈ R. Die Reihe ∞
n=1 np konvergiert genau dann,
wenn p > 1.
Aufgabe 44 Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
fallende Folge von nicht(a) (Leibniz-Kriterium) Sei {ck }∞
k=1 eine monoton
P∞
negativen reellen Zahlen. Dann ist die Reihe k=1 (−1)k ck konvergent genau dann, wenn lim ck = 0.
P
Tipp. Setzen Sie Sn = nk=1 (−1)k ck und beweisen, dass die Folge {S2m }∞
m=1
monoton fallend ist, während die Folge {S2m−1 }∞
m=1 monoton steigend ist.
P
(−1)k−1
(b) (Leibniz-Reihe) Die Reihe ∞
ist konvergent.
k=1
k
P
(−1)k−1
Aufgabe 45 Zeigen Sie, dass die Glieder der Reihe ∞
so vertauscht
k=1
k
werden können, dass die vertauschte
Reihe
gegen
+∞
divergiert.
P
P∞
1
1
Tipp. Benutzen Sie, dass ∞
n=1 2n =
n=1 2n−1 = ∞.
Aufgabe 46 Sei {an }∞
n=1 eine Folge von komplexen Zahlen.
(a) (Wurzelkriterium) Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
p
P
(i) Gilt lim sup n |an | < 1, so ist die Reihe ∞
n=1 an absolut konvergent.
p
P
(ii) Gilt lim sup n |an | > 1, so ist die Reihe ∞
n=1 an divergent.
(b) Geben Sie die Beispiele zu zeigen, dass im Fall
p
lim n |an | = 1
n→∞
P∞
die Reihe n=1 an sowohl konvergent als auch divergent sein kann.
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Analysis I
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Vorlesung: Prof. Yu. Kondratiev
P
Tipp: Betrachten Sie die Dirichlet-Reihe ∞
n=1
lim n1/n = 1 aus Aufgabe 31 (Blatt VII (PÜ)).
Übungen: Dr. O. Kutovyi
1
np
und benutzen die Identität
n→∞
Aufgabe 47 Für jede gegebene Reihe bestimmen Sie mit Hilfe von Wurzelkriterium, ob sie konvergent oder divergent ist.
2
∞ (n + 1)n
∞ (2 + (−1)n )n
P
P
(a)
(b)
4n
nn2 2n
n=1
n=1
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