Vorkurs Informatik - Technische Universität Braunschweig

Technische Universität Braunschweig
Dr. Werner Struckmann/Stephan Mielke
Institut für Programmierung und Reaktive Systeme
31. März 2017
Vorkurs Informatik
8. Übungsblatt
Aufgabe 32: Die Strompreise erhöhen sich um 13 %. Um wie viel Prozent muss der
Verbrauch mindestens sinken, damit die Kosten nicht steigen?
Aufgabe 33: Wiederholen Sie die Rechenregeln für Potenzen, Wurzeln und Logarithmen.
Aufgabe 34:
Berechnen Sie x:
a) 2x = 16, 3x = 9, 4x = 1.
b) 3x = 31 , 2x =
c) 2x =
1
√
,
3
16
Aufgabe 35:
1
,
16
3x =
5x =
1
√
3 ,
9
1
.
125
4x =
1
√
.
5
64
Bestimmen Sie:
√
log2 2, log2 213 .
√
√
1
b) log3 9, log3 1, log3 243, log3 81
, log3 19 , log3 37 , log3 3, log3 33 .
a) log2 64, log2 1024, log2 1, log2 18 , log2
1
,
16
log2
1
,
128
c) log 100, log 10, log 1000, log 0,001, log 0,1, log 0,00001, log 109 , log 10−6 , log
Aufgabe 36:
liegt:
√
10.
Berechnen Sie im Kopf, zwischen welchen ganzen Zahlen der Logarithmus
1
log2 3, log2 5, log2 , log3 2, log4 13, log5 36, log6 99, log 29,5.
3
Aufgabe 37:
Für welche Basis b ist die Gleichung erfüllt?
logb 9 = 2, logb
√
1
3
= −2, logb 125 = 3, logb 8 = .
9
4
Aufgabe 38: Es seien die Basen a und b gegeben. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass
es gibt eine Konstante c gibt, so dass für alle n die folgende Gleichung gilt:
loga n = c · logb n.
Überprüfen Sie diese Aussage für einige Werte von a, b und n.
Hinweis: Diese Aussage ist für die Informatik sehr wichtig.
Aufgabe 39: Überprüfen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
Kommutativgesetze:
Assoziativgesetze:
Distributivgesetze:
Idempotenzgesetze:
Absorptionsgesetze:
Negation:
De Morgan-Regeln:
φ ∨ ψ ⇔ ψ ∨ φ, φ ∧ ψ ⇔ ψ ∧ φ
(φ ∨ ψ) ∨ χ ⇔ φ ∨ (ψ ∨ χ), (φ ∧ ψ) ∧ χ ⇔ φ ∧ (ψ ∧ χ)
φ ∨ (ψ ∧ χ) ⇔ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ χ), φ ∧ (ψ ∨ χ) ⇔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ χ)
φ ∨ φ ⇔ φ, φ ∧ φ ⇔ φ
φ ∨ (φ ∧ ψ) ⇔ φ, φ ∧ (φ ∨ ψ) ⇔ φ
φ ∨ ¬φ ⇔ W, φ ∧ ¬φ ⇔ F, ¬(¬φ) ⇔ φ
¬(φ ∨ ψ) ⇔ ¬φ ∧ ¬ψ, ¬(φ ∧ ψ) ⇔ ¬φ ∨ ¬ψ
Aufgabe 40: Schreiben Sie die Dezimalzahl 92 als Dualzahl, als Oktalzahl und als Hexadezimalzahl.
Aufgabe 41: Schreiben Sie die Dezimalzahlen 23 und 13 als Dualzahlen und berechnen
Sie die Summe und das Produkt dieser Zahlen in der Dualzahldarstellung.
Aufgabe 42:
Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Eine natürliche Zahl n ∈ N ist genau dann ungerade, wenn 3n + 1 gerade ist.
Aufgabe 43:
tion.
Beweisen Sie jede der folgenden Behauptungen durch vollständige Induk-
a) Für alle n ∈ N, n ≥ 1 ist 7n − 1 durch 6 teilbar.
b) Für alle n ∈ N, n ≥ 1 ist n3 − n durch 3 teilbar.
c) Für alle n ∈ N, n ≥ 1 gilt:
n
X
(4i − 3) = n(2n − 1).
i=1
Aufgabe 44: Beweisen Sie die folgende Aussage durch vollständige Induktion. Für alle
n ∈ N, n ≥ 1 gilt:
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
.
i2 =
6
i=1
Aufgabe 45: Beispiel: Die Zahl 385 ist durch 7 teilbar, weil 38 − 2 · 5 = 28 durch 7 teilbar
ist. Formulieren Sie diese Aussage als Teilbarkeitskriterium für die Zahl 7 und zeigen Sie
Ihre Aussage.
–2–
Aufgabe 46:
Eine Folge von Zahlen x1 , x2 , x3 , . . . sei definiert durch
x1 = 1, xk+1 =
xk
für k ≥ 1.
xk + 2
a) Berechnen Sie x2 , x3 und x4 .
b) Beweisen Sie xn =
Aufgabe 47:
1
2n −1
für alle n ≥ 1.
Beweisen Sie die folgende Gleichung.
n
X
(2i + 1) = (n + 1)2 .
i=0
Aufgabe 48:
Wandeln Sie die die folgenden Zahlen in Dezimalzahlen um.
a) (250)8 , (625)8
b) (101110111)2 , (101010)2
Aufgabe 49:
Berechnen Sie die folgenden Werte: logx (x), log2
–3–
8
2200
6
50
, log50 2500
.