lineare systeme phasen-ebenen fixpunkt-analyse

LINEARE SYSTEME
PHASEN-EBENEN
FIXPUNKT-ANALYSE
Proseminar: Theoretische Physik
Kerstin Beer – 21.05.2014 – Sommersemester 2014
1
MOTIVATION
• Lineares System ist ein Spezialfall
• nicht-lineare Systeme sind schwer zu lösen
• Techniken der Linearisierung
• Fixpunkte qualitativ betrachten und veranschaulichen
• Ablesen von Eigenschaften des Systems allein durch MatrixEigenschaften
2
GLIEDERUNG
1. Lineare Systeme
2. Phasen-Ebenen
3. Fixpunkt-Analyse
4. Linearisierung
5. Schlussfolgerungen
3
LINEARE SYSTEME
BEISPIEL 1: GLEICHUNGSSYSTEM
Population von Hasen
Population von Schafen
Gekoppeltes
Gleichungssystem:
3
Tierarten teilen sich
Lebensraum und Nahrung
2
5
2
DEFINITION: LINEARES SYSTEM
Zweidimensionales Lineares System
ungekoppelte Systeme:
0,
Matrix-Schreibweise 0
A
6
DEFINITION: EIGENWERT/-VEKTOR
Eigenwertgleichung
Eigenvektor
Eigenwert λ
Charakteristische Gleichung
λ
0
λ
Bestimmung des Eigenvektors:
λ
0
λ
7
BEISPIEL 2: EIGENVEKTOREN
1
4
λ
1
2
2, λ
für λ
1
2:
4
für λ
3:
4
4
3
Eigenvektoren:
1
4
1
1
0
1
1
1
4
0
8
LÖSUNG DES LINEAREN SYSTEMS
c
1
1
1
4
2
3
mit Anfangsbedingungen
4
9
Lineare
Systeme sind
sehr einfach
zu lösen!
BEISPIEL 3: HARMONISCHER OSZILLATOR
0
x
k
ω
m
10
PHASEN-EBENEN
DEFINITION: PHASEN-EBENEN
zeigen alle Lösungsmöglichkeiten eines Gleichungssystems
v
2
z.B. Lösung von
ω
0
0
mit
1, 2, 3 und ω
1
0
-3 -2 -1
-1
0.5
12
-2
1
2
3
x
BEISPIEL
3:
HARMONISCHER
OSZILLATOR
v
v
v
0.6
0.4
0.2
0.6
0.4
0.2
- 1.0 - 0.5- 0.2
- 0.4
- 0.6
0.5
x
1.0
- 1.0 - 0.5- 0.2
- 0.4
- 0.6
0.6
0.4
0.2
0.5
x
1.0
- 1.0 - 0.5- 0.2
- 0.4
- 0.6
m
m
m
13
0.5
x
1.0
PHASENEBENE QUALITATIV ZEICHNEN
ω
Für größere x werden
0
Vektoren
ω
länger
Für größere v werden
Vektoren
länger
0
14
GEDÄMPFTER OSZILLATOR
v
0.6
0.4
0.2
- 0.5
- 0.2
- 0.4
- 0.6
15
0.5
x
1.0
THEOREM: EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT
Anfangsproblem
∂ und
, ,
∂
1, … ,
,
0
sind stetig
Lösung für Trajektorie
16
existiert und ist eindeutig
FOLGERUNGEN AUS THEOREM
Trajektorien überschneiden sich nie
Trajektorie bleibt in abgeschlossener Bahn
gefangen
17
FIXPUNKT-ANALYSE
FIXPUNKTE
Fixpunkt
0
Stabiler Fixpunkt
Instabiler Fixpunkt
19
BEISPIEL 4: FIXPUNKT-ANALYSE
Lineares System
0
0
1
Lösung
20
Plot von
2bis
2
21
Knoten
Stern
1
22
1
Linie aus Fixpunkten
(nicht-isolierte Fixpunkte)
Sattelpunkt
23
ÜBERTRAGUNG: ALLG. LINEARES SYSTEM
0
Δ
0
1
1
1
1
1
0
0
0
2
Δ
2
1
2
0
1
1
0
1
Δ 0
Δ
24
Δ
1
Δ
Δund linearer
Systeme
t
4
instabile
Knoten
instabile
Spiralen
1
-2
-4
λ
λ
Δ 0 → Eigenwerte:
real, versch.
2
Vorzeichen
→ Sattelpunkte
nicht isolierte
Fixpunkte
4Δ
τ
2
3
4
stabile
Spiralen
stabile
Knoten
τ
τ
τ
2
τ
2
4Δ
4Δ
Sterne
5
D
Δ 0 → Eigenwerte:
entweder real,
gleiche Vorzeichen
→ Knoten
oder komplex konj.
→ Spiralen und
geschl. Bahnen
LINEARISIERUNG
LINEARISIERUNG
,
mit Fixpunkt
,
∗
,
Substitution
∗
, ∗
∗
,
∗
,
∗
dh.
f
g
∗
,
∗
,
∗
∗
0
0
∗
Taylor‐Entwicklung
Jakobi-Matrix
, ,
∗
,
,
,
,
27
∗,
∗
BEISPIEL 5: LINEARISIERUNG
mit Fixpunkt
∗
,
∗
Jacobi-Matrix ausgewertet am Fixpunkt A
0,0
0
1
1
,
0
um das nichtlineare Problem zu lösen: Polarkoordinaten
Θ
1
28
0
WIRKUNG: KLEINE NICHT-LINEARE TERME
Spiralen und Sterne können verändert werden,
Fixpunkte verändern sich nicht
29
BEISPIEL 1: SCHAFE UND HASEN
schwerlösbares, nicht-lineares
Gleichungssystem:
3
2
2
Fixpunkte finden:
0,
0,0 ; 0,2 ; 3,0 ; 1,1
Linearisierung, lokal lineares
System betrachten:
0
=
30
3
2
2
2
2
2
Jakobi-Matrix an Fixpunkten
auswerten
FIXPUNKT-ANALYSE
3 0
0 2
→instabiler Knoten
1 0
0,2 : 2
2
→stabiler Knoten
0,0 : 3
0
→stabiler Knoten
1
1,1 : 1
→Sattelpunkt
3,0 : 31
6
1
2
1
Schafe
Hasen
32
SCHLUSSFOLGERUNGEN
• Lineare Systeme einfach zu lösen
• Linearisierung, Vorsicht mit Spiralen!
• Bei nicht-linearen Systemen Jacobi-Matrix an Fixpunkten
auswerten
• Spur/Determinante linearer oder linearisierter System zur
Fixpunkt-Analyse nutzen
• Phasenebene hilft die Bewegung zu veranschaulichen
33
DANKE FÜR DIE AUFMERKSAMKEIT 
QUELLEN
• Nonlinear Dynamics and Chaos, Ch. 5 – 6, Steven H.
Strogatz (1994)
• Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcation of
vector fields, J. Guckenheimer and P. Holmes (2002)
35