ProbeKlausur SS-2015 mit Lösungen

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Gegeben seien die Ereignisse A und B. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sie eintreten
betragen 0,4 bzw. 0,5. Falls die beiden Ereignisse disjunkt sind, so beträgt die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gleichzeitig eintreten:
- 0,0
- 0,9
.- 0,2
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+
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Gegeben seien die Ereignisse A und B. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass sie eintreten
betragen 0,4 bzw. 0,5. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gleichzeitig eintreten,
beträgt 0,1. Somit kann man folgern,
.-
dass A und B unabhängig voneinander sind.
dass A und B disjunkt sind.
dass A und B nicht unabhängig voneinander sind.
dass A und B nicht disjunkt sind.
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+
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Für welche der folgenden Zufallsvariablen wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die
Binomial-Verteilung beschrieben?
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- 0,1
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Lebensdauer eines zufällig ausgewählten Bauteils aus einer Serienproduktion.
Anzahl defekter Teile eines Produkts, das zufällig aus der Serienproduktion
ausgewählt wurde.
Anzahl von Bauteilen, deren Lebensdauer weniger als 950 Stunden beträgt, in einer
Stichprobe mit 5 Bauteilen aus einer Serienproduktion.
keiner der obigen Aussagen
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+
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Welche der folgenden Angaben ist richtig?
.-
Var [ a X + b ] = a · Var [ X ]
Var[ X – Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ]
σ X–Y = σ X + σ Y
σ
x−y
=
( Var [ X 2 ] + Var [Y 2 ] )
1
1$
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+
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Sei X eine geometrischverteilte Zufallsvariable. Folgende 3 Bedingungen für X sind unten
angegeben:
- Die einzelnen Versuche im n-stufigem Zufallsexperiment sind unabhängig voneinander.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (bzw. Misserfolg) ist in jedem Versuch gleich und
konstant.
)- Die Wahrscheinlichkeiten für alle Ausgänge (Ergebnisse) im n-stufigem Zufallsexperiment
sind gleich.
Welche der obigen Bedingungen muss die Zufallsvariable X erfüllen?
-
- nur a)
.- alle drei Bedingungen
nur a) und b)
- nur a) und c)
2$ +
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Folgende geordnete Datenreihe gibt die Anzahl der Beschwerden von Passagieren auf einer
bestimmten Flugstrecke bei 50 verschiedenen Flügen einer Airline an.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
- Geben Sie das Merkmal an, welches hier untersucht wird.
- Welche der folgenden Angaben gibt den Merkmalstypen und das Skalenniveau für das
Merkmal richtig an.
quantitativ, stetig und kardinalskaliert (metrisch)
quantitativ, diskret und kardinalskaliert (metrisch)
)- - Bestimmen Sie den Median xMed , das
25%-Quantil x0,25 , das 75%-Quantil x0,75
und die Spannweite R. Tragen Sie die
Linie für den Median in den folgenden
Boxplot ein. Beschriften Sie den Boxplot
und tragen Sie die Werte dafür auf die
Zahlengerade ein.
(
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*
#"3
- Erstellen Sie aus der Datenreihe eine Häufigkeitstabelle.
- Berechnen Sie den Mittelwert (das arithmetische Mittel) und die Standardabweichung.
- Beschriften Sie die leeren Kästen in den beiden Diagrammen.
-
25
0
1
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2
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4
5
0
1
( - "
2
3
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4
5
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2
3$ +
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Das elektronische System in der Abb. besteht aus 3 Komponenten, die unabhängig
voneinander arbeiten. Es seien P(A) = 0,9 ; P(B) = 0,8 bzw. P(C) = 0,6 die
Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten A ; B ; bzw. C (zuverlässig)
funktionieren. Das System funktioniert dann zuverlässig, wenn die Komponenten
„A und B „ oder „C „ oder „alle 3 Komponenten“ zuverlässig funktionieren.
A
2&
B
C
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System zuverlässig funktioniert?
4$ +
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4&
Ein Computerhersteller bestellt bei einem Vertrieb Speicherchips. In der Warenlieferung
befinden sich 1000 Speicherchips aus Japan, 2000 aus Korea und 2000 aus Taiwan. Aus
Testergebnissen ist bekannt, dass 1% der Chips aus Japan, 3% der Chips aus Korea und
4% der Chips aus Taiwan defekt sind.
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus der Lieferung zufällig entnommener
Chip defekt ist?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein defekter Chip, der aus der Lieferung zufällig
entnommenen wurde, aus Japan stammt?
5$ +
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- Sei X die Zufallsvariable für die Montagezeit (in Stunden) eines bestimmten Bauteil einer
Serienproduktion mit der folgenden Dichtefunktion.
0
f (x
)=
m⋅ x −
0
für
0 , 16
für
für
x < 2
2≤ x ≤ 7
7< x
Zeigen Sie, dass m = 0,08 ist.
- Die Verteilungsfunktion für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X lautet:
0
F(x
)=
0 , 04 x 2 −
1
für
0 , 16 x + 0 , 16
für
für
x < 2
2≤ x ≤ 7
7< x
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Montagezeit mehr als 3 Stunden
dauert?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Montagezeit zwischen 3 und 5
Stunden dauert?
)- Bestimmen Sie den Median (die 50-te Perzentile, das 50%-Qunatil) für die
Montagezeit.
-
Die Bauteile werden unabhängig voneinander produziert. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass von 20 hergestellten Bauteilen bei mindestens 2 Bauteilen die
Monatgezeit weniger als 3 Stunden dauert?
3
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+
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In einem Produktionsprozess ist bekannt, dass im Mittel ein Artikel pro 100 hergestellte
Artikel defekt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom
Umfang 5 aus der Serienproduktion der 5-te entnommne Artikel der erste defekte Artikel
ist?
%%$ +
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%6&
Ein Elektrokonzern stellt Halogenlampen mit einer durchschnittlichen Lebensdauer von
800 Stunden und einer Standardabweichung von 40 Stunden her. Die Lebensdauer sei
eine normalverteilte Zufallsvariable.
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Halogenlampe eine Lebensdauer
zwischen 750 und 850 Stunden hat?
- Wie groß ist die 90-te Perzentille für die Lebensdauer der Halogenlampen?
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Die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der verkauften Hybridfahrzeuge eines Händlers
innerhalb einer Woche sei durch folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung gegeben.
j
Anzahl der Autos X = x j
Wahrscheinlichkeitsfunktion
P ( X = x j) = f (x j)
1
0
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
0,28
0,15
0,11
0,08
0,06
Der Händler erwirbt jedes Fahrzeug für einen Preis von 21000 € und verkauft es dann für
24500 €.
- Tragen Sie in die obige Tabelle den Wert für P ( X = 0 ) ein.
- Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn des Händlers in einer Woche?
+
+
(
9:(
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8
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9
9
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Eine Fluggesellschaft weiß aus Erfahrung, dass für Flüge auf einer bestimmten Kurzstrecke
im Durchschnitt nur 70% aller Passagiere den von ihnen gebuchten Flug antreten. Die
Airline möchte für diese Strecke ein Flugzeug mit 50 Plätzen einsetzen. Wie viele Tickets
können maximal verkauft werden, wenn das Risiko, Passagiere nicht mitnehmen zu können,
höchstens 1% (1% oder weniger als 1%) bleiben soll?
%,$ 7( +
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Zwischen zwei bestimmten physikalischen Messgrößen u und v besteht folgender
Zusammenhang:
1
v = α − β ⋅
;
wobei α und β zwei Konstanten sind.
u
Die folgende Tabelle gibt die Messwerte von v für verschiedene Werte von u an.
u
v
1
4,2
2
2,4
3
2,1
4
1,8
5
1,5
- Bestimmen Sie die Schätzwerte für die Konstanten α und β .
- Schätzen Sie v, wenn u = 0,5 ist.
4
5
6
7
#
- Also sind insgesamt 3% der Chips in der Warenlieferung defekt.
- Von den defekten Chips sind 6% aus Japan.
8
9
10
11
12
#
Die Aufgabe muss durch eine Ungleichung gelöst werden. Sie können aber
diese Aufgabe mit Hilfe einer Gleichung lösen und dann anschließend anhand des
Aufgabentextes entscheiden, ob Sie die Endlösung aufrunden oder abrunden müssen.
13
14