Stochastik I, WS 2009/2010 Dr. I. Pavlyukevich I - Hu

Stochastik I, WS 2009/2010
Dr. I. Pavlyukevich
I. Kuhwald
3. Übungsblatt
Aufgabe 1.
Zeigen Sie, dass sich die Zähldichte der hypergeometrischen Verteilung zu Parametern (N, M, n) für
N, M → ∞ und M/N → p durch die Zähldichte der Binomialverteilung zu Parametern (n, p) approximieren
lässt. (3 Punkte)
Aufgabe 2.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer (unendlichen) Folge von unabhängigen Bernoulli–
Experimenten (Wahrscheinlichkeit des Erfolgs ist p) eine Serie aus zwei Erfolgen (‘11’) vor der Serie Misserfolg–
Erfolg (‘01’) eintritt. (4 Punkte)
Aufgabe 3.
Beim Bogenschießen auf eine Zielscheibe ermitteln Sie für sich eine Wahrscheinlichkeit von 1/9 für das
Ereignis, ins Schwarze zu treffen.
1. Wieviele Versuche benötigen Sie, um mit Wahrscheinlichkeit größer gleich 0.99 wenigstens einen Volltreffer
zu erzielen? Nehmen Sie an, dass die verschiedenen Versuche stochastisch unabhängig voneinander sind (ist
dies realistisch?).
2. Sie hatten Pech und haben mit der in 1. ermittelten Anzahl an Versuchen nicht ins Schwarze getroffen.
Ermitteln Sie die Anzahl der weiteren Versuche, mit der Sie rechnen müssen, um mit Wahrscheinlichkeit
größer gleich 0.99 wenigstens einen Volltreffer zu erzielen? (2 + 1 Punkte)
Aufgabe 4.
Seien Pi die a priori Wahrscheinlichkeiten des Eintretens eines Ereignisses B unter den Hypothesen
Ai , 1 ≤ i ≤ k. Die Hypothesen Ai selbst treten mit Wahrscheinlichkeiten pi ein. In einer Serie von n
unabhängigen Experimenten hat man das Ereignis B m mal beobachtet. (Es wird angenommen, dass die
Wahrscheinlichkeiten pi sich während dieser Experimenten nicht ändern.)
1. Bestimmen Sie die a posteriori Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen Ai nach dieser Serie.
2. Sei P (n) die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B im n-ten Experiment eingetreten ist, unter den
Bedingung, dass es auch in den ersten n − 1 Experimenten eintrat. Vergleichen Sie P (n) und P (n + 1).
Können diese Wahrscheinlichkeiten gleich sein? (3 + 3 Punkte)
Ausgabetermin: 09.11.2009
Abgabetermine:
Übungsgruppe 10:00-12:00: 16.11.2009 in den Übungsgruppe oder per E-Mail an
[email protected].
Übungsgruppe 16:00-18:00: 16.11.2009 bis 11:00 ins Paket an der Tür Ernst-Abbe-Platz 2, R. 3526, oder per
E-Mail an [email protected]
http://www.mathematik.hu-berlin.de/~pavljuke/stoch1ws09.html
Klausur: 18.02.2010, 12:00-14:00 Uhr, Jenoptik-Hörsaal, Helmholtzweg 5.
Nachklausur: 30.03.2010, 10:00-12:00, HS 24 im Unihauptgebäude.
1