4.4. Mehrstufige Zufallsversuche, Pfadregeln (Theorie)

Fachgruppe Mathematik der Kantonsschule am Burggraben, St.Gallen
Mathematik-Repetitorium für den Maturastoff
4.4. Mehrstufige Zufallsversuche, Pfadregeln (Theorie)
Beispiel 1
In einer Schachtel sollen 6 rote (r) und 4 gelbe (g) Kugeln liegen, von denen 3 nacheinander
ohne Hinsehen und ohne Zurücklegen gezogen werden. Dies ist ein dreistufiger
Zufallsversuch. Seinen Ablauf können wir in durchsichtiger Weise mit einem Baumdiagramm
darstellen, wenn wir noch die Wahrscheinlichkeiten bei jeder Stufe auf die Äste schreiben.
Wenn wir etwa nach der Wahrscheinlichkeit fragen, zuerst zwei rote und dann eine gelbe
Kugel zu ziehen, dann hat dieses Ereignis zunächst einen “Pfad“ in unserem Baumdiagramm :
Wir interpretieren nun die Wahrscheinlichkeiten als relative Häufigkeiten bei einer grossen
Anzahl N von Wiederholungen des Versuches. Welcher Anteil von N wird diesen Pfad
einschlagen?
3/5 der Versuche, also 3/5.N, werden nach dem 1. Zug bei r angekommen sein, davon wieder
5/9, also 3/5.5/9.N, nach dem 2. Zug nochmals bei r und von denen zum Schluss 3/5.5/9.1/2.N
bei g.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist deshalb 3/5.5/9.1/2 = 1/6.
Dieses Beispiel führt zur sog.
Pfadregel
Die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ausganges bei einem mehrstufigen Zufallsversuch
ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des Pfades, der zu diesem Ausgang gehört.
Beispiel 2
Beim Zufallsversuch von Bsp. 1 soll die Wahrscheinlichkeit für zwei rote und eine gelbe
Kugel bestimmt werden. Das geht mit den Ausgängen “rrg“, “rgr“ und “grr“.
Weil sich diese Ereignisse gegenseitig ausschliessen, können wir ihre Wahrscheinlichkeiten
addieren und erhalten
3/5.5/9.1/2 + 3/5.4/9.5/8 + 2/5.2/3.5/8 = 1/2