Kurze Zusammenfassung zu den Komplexen Zahlen

Kurze Zusammenfassung der Grundlagen zum
Rechnen mit komplexen Zahlen
• Darstellungsmöglichkeiten einer komplexen Zahl: Es gibt 3 gebräuchliche, äquivalente Möglichkeiten, eine komplexe Zahl z eindeutig darzustellen:
– Kartesische Form: z = x + i · y
– Trigonometrische Form: z = r(cos ϕ+i sin ϕ), also mit x = r cos ϕ und y = r sin ϕ
– Exponentialform: z = r · eiϕ
Hierbei heißt x ∈ R der Realteil von z, x = Re(z), und y ∈ R der Imaginärteil von z,
y = Im(z). Häufig
p findet man auch die Schreibweisen x = <(z) und y = =(z). Weiter
gilt r = |z| = x2 + y 2 . ϕ ∈ R wird das Argument von z genannt, man schreibt
ϕ = Arg(z) (genauer gesagt ist dies der Hauptwert des Arguments ∈ [0, 2π), da dieses
nur modulo 2π eindeutig ist). Weiterhin wird das konjugiert Komplexe einer Zahl z
häufig gebraucht, z ∗ = x − iy.
• Grundrechenarten: Addition und Subtraktion: Es sei z1 = x1 + iy1 und
z2 = x2 + iy2 . Dann definiert man:
z1 + z2 := (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
z1 − z2 := (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 )
(1)
(2)
• Grundrechenarten: Multiplikation und Division: Seien z1 und z2 wie eben gegeben. Dann definiert man:
z1 · z2 := (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
+i
z1 /z2 :=
2
2
x2 + y2
x22 + y22
(3)
(4)
Diese Definitionen erhält man quasi automatisch, wenn man die üblichen“ Rechenre”
geln anwendet und i2 = −1 beachtet. Um dies zu illustrieren und zu zeigen, wie man
praktisch“ dividieren wird:
”
z1
z1 z2∗
(x1 + iy1 )(x2 − iy2 )
x1 x2 − ix1 y2 + iy1 x2 + y1 y2
=
=
=
∗
z2
z2 z2
(x2 + iy2 )(x2 − iy2 )
x22 + y22
x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
=
+i
.
2
2
x2 + y2
x22 + y22
Besonders einfach sind Multiplikation und Division mit den Exponentialformen der
komplexen Zahlen auszuführen, für z1 = r1 eiϕ1 und z2 = r2 eiϕ2 gilt
z1 · z2 = r1 · r2 ei(ϕ1 +ϕ2 )
z1 /z2 = r1 /r2 ei(ϕ1 −ϕ2 ) ,
(5)
(6)
und über die Euler’sche Formel
eiϕ = cos ϕ + i · sin ϕ,
ϕ∈R
(7)
kommt man auf die analogen Beziehungen für die trigonometrische Form
z1 · z2 = r1 · r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))
z1 /z2 = r1 /r2 (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )).
- 1 von 1 -
(8)
(9)