Station A – Der Beweis, dass 2 irrational ist Aufgabe 1 Hört euch auf

Station A – Der Beweis, dass
2 irrational ist
Aufgabe 1
Hört euch auf youtube von DorFuchs den Song „Die Wurzel aus 2 ist irrational“ an.
Der Link dazu ist http://www.youtube.com/watch?v=tPfnEByx9r0.
Notiert euch die Schritte des Beweises! Unter Umständen müsst ihr dazu öfter das Lied stoppen. Welche Schritte sind klar? Welche Schritte sind noch unverständlich? Diskutiert gemeinsam in der Gruppe!
Aufgabe 2
Beweist nun auf analoge Weise, dass
3 irrational ist!
Aufgabe 3
An welcher Stelle bricht die Argumentation zusammen, wenn man einen analogen Beweis für
die Irrationalität von 4 führen wollte?
Name:
Stationenbetrieb irrationale Zahlen
Station B – Näherungsweise Berechnung von irrationalen Zahlen
I) Das Verfahren der Intervallschachtelung
3 ist eine irrationale Zahl. Mit Hilfe der Intervallschachtelung kannst du erkennen, zwischen welchen rationalen Zahlen 3 liegt.
3 liegt zwischen
1
und
1,7 und
2
1,8
weil
weil
1² < 3 < 2²
1,7² < 3 < 1,8²
(1 < 3 < 4)
(2,89 < 3 < 3,24)
Aufgabe 1
Führt das Verfahren der Intervallschachtelung fort und bestimmt somit die ersten 5 Nachkommastellen von 3 !
II) Das Heron-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Quadratwurzeln
Heron von Alexandria (ca. 65 – ca. 125 n. Chr.) schlug ein Verfahren zur Wurzelbildung vor.
Dem Heron-Verfahren liegt die Idee zu Grunde, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt A eine
Seitenlänge von A hat. Schritt für Schritt wird das Seitenverhältnis des Rechtecks so geändert, dass sich seine Form immer mehr der eines Quadrats annähert, während der Flächeninhalt gleich bleibt. Die Seitenlängen des Rechtecks sind die Näherungswerte für A .
Im ersten Schritt wird eine beliebige Seitenlänge x0 für das Rechteck gewählt. Damit dieses
den gewünschten Flächeninhalt A hat, wird die zweite Seitenlänge mit der Formel
y0 =
A
berechnet.
x0
y0
x0
Die Ähnlichkeit des Rechtecks mit einem Quadrat wird wahrscheinlich gering sein. Um eine
bessere Näherung zu erhalten, muss die lange Seite gekürzt und die kurze Seite verlängert
werden. Als neue Länge der langen Seite wird der Mittelwert x1 =
x0 + y 0
der beiden bishe2
rigen Seitenlängen angenommen. Die Länge der anderen Seite berechnet sich wie oben zu
y1 =
A
.
x1
y1
x1
Dieses Verfahren wird nun Schritt für Schritt wiederholt bis die Figur annähernd quadratisch
ist. Die Seitenlänge ist dann eine Näherung für A .
Name:
Stationenbetrieb irrationale Zahlen
Aufgabe 2
Führt das Heron-Verfahren für
erreichen!
3 durch, um eine Näherung auf 5 Nachkommastellen zu
Aufgabe 3
Führt das Heron-Verfahren für 720 durch, um eine Näherung auf 3 Nachkommastellen zu
erreichen. Wie soll hier der Startwert (also die Seitenlänge x0 des ersten Rechtecks) gewählt
werden?
Aufgabe 4
Diskutiert, welche Vor- und Nachteile das Verfahren der Intervallschachtelung und das Heron-Verfahren haben!
Name:
Stationenbetrieb irrationale Zahlen
Station C – Eine besondere irrationale Zahl: p
Kaum eine andere Zahl hat die Menschen so beschäftigt und
fasziniert wie die Kreiszahl p. Schon von den Griechen wurde nach
dieser geheimnisvollen Zahl gesucht, und auch wenn immer genauer
geschätzt wurde, gelang es erst dem griechischen Mathematiker
Archimedes um 250 v. Chr., diese Zahl mathematisch zu bändigen.
Bis heute werden immer wieder Rekordjagden veranstaltet, um p
weiter anzunähern. Derzeit wurde p auf 10 Billionen Nachkommastellen berechnet.
p ist die Kreiszahl im doppelten Sinn:
p ist die Größe der Fläche des Einheitskreises.
p ist die Länge der Kreislinie eines halben Einheitskreises.
A=p
U = 2p
Kurioses zur Kreiszahl p
Die Aufnahmeprüfung zum Verein „Freunde von p“ (www.pi314.at) besteht darin, 100 Nachkommastellen von p auswendig aufzusagen. Den Weltrekord hält der Chinese Chao Lu, der
67890 Nachkommastellen von p aufsagen konnte.
Der Wert von p ist ungefähr 3,14… , daher wird am 14.3. (wegen der amerikanischen Datumsdarstellung 3/14) zu Ehren der Kreiszahl p der p-Tag gefeiert. Dazu isst man runde Kuchen (Pie’s) und trinkt Pineapple juice oder Pina Colada ;-)
Aufgabe 1
a) Überlegt euch Wege, wie die Zahl p näherungsweise bestimmt werden kann.
b) Wie könnte man vorgehen, um die Genauigkeit zu erhöhen?
(Wenn euch selbst keine Wege einfallen, informiert euch im Internet.)
Aufgabe 2
Die Nachkommastellen von p genügen keinerlei Regelmäßigkeit. Auf der Internetseite
www.angio.net/pi/bigpi.cgi könnt ihr nachsehen, an welcher Nachkommastelle von p euer
Geburtsdatum steht!
Name:
Stationenbetrieb irrationale Zahlen
Station D – Der goldene Schnitt
Der goldene Schnitt ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen, meist Längen von Strecken,
das in der Kunst und Architektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und
Harmonie angesehen wird. Darüber hinaus tritt dieses Teilungsverhältnis auch in der Natur in
Erscheinungen auf, zum Beispiel am menschlichen Körper. Daneben gibt es noch viele Längenverhältnisse am menschlichen Körper, die dem goldenen Schnitt entsprechen.
Der goldene Schnitt wird mathematisch beschrieben durch die Gleichung:
a a+b
=
b
b
a
b
Aufgabe 1
Drückt diese Gleichung in euren Worte aus. Was besagt sie?
Aufgabe 2
Bestimmt die Zahl a möglichst genau, wenn a+b=1 ist.
Aufgabe 3
Im folgenden Bild werden verschiedene Verhältnisse am menschlichen Körper betrachtet, die
näherungsweise dem goldenen Schnitt genügen. Wählt drei Verhältnisse aus und messt mit
dem Maßband nach, ob auch an euren Gruppenmitgliedern die Verhältnisse dieser Längen
dem goldenen Schnitt entsprechen!
Beispiel:
a = Länge von Kopf bis Bauchnabel = …… cm
b = Länge von Bauchnabel bis Fußsohle = ….. cm
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Stationenbetrieb irrationale Zahlen
Station E – Zuordnung von Zahlen zu Zahlenmengen
Aufgabe 1
Kreuzt alle wahren Aussagen an!
Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.
Jede reelle Zahl ist auch eine natürliche Zahl.
Eine ganze Zahl kann auch eine irrationale Zahl sein.
Eine ganze Zahl muss keine rationale Zahl sein.
Eine reelle Zahl kann auch irrational sein.
Eine reelle Zahl muss rational sein.
Alle ganzen Zahlen sind reelle Zahlen.
Es gibt irrationale Zahlen, die keine reellen Zahlen sind.
Es gibt irrationale Zahlen, deren 10-Faches eine rationale Zahl ergibt.
Aufgabe 2
Gebt drei rationale Zahlen an, die zwischen 1,3 und 1,9 liegen!
Gebt drei natürliche Zahlen an, deren Wurzel wieder eine natürliche Zahl ist!
Gebt drei natürliche Zahlen an, deren Wurzel eine irrationale Zahl ist!
Gebt drei Zahlen an, deren Wurzel rational und größer als 1 ist!
Aufgabe 3
Diskutiert in der Gruppe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Ist die Frage immer eindeutig zu beantworten? Begründet eure Antwort: Gebt wenn möglich
Beispiele bzw. Gegenbeispiele an!
a)
b)
c)
d)
Wird mit einer irrationalen Zahl gerechnet, ist das Ergebnis immer irrational.
Zieht man die Wurzel aus einer Zahl, ist das Ergebnis immer irrational.
Dividiert man zwei ganze Zahlen, ist das Ergebnis immer eine ganze Zahl.
Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl.
Aufgabe 4
Kreuzt in jeder Zeile alle zutreffenden Aussagen an!
0,03 œ
-6 œ
π
œ
2
56790222 œ
3.10-2 œ
5.1012 œ
3
œ
7
2. 3 œ
-
Name:
Stationenbetrieb irrationale Zahlen
Aufgabe 5
Gegeben ist die Zahl - 5 . Kreuzt die beiden wahren Aussagen an!
Die Zahl - 5 liegt nicht in .
Die Zahl - 5 liegt in , aber nicht in .
Die Zahl - 5 ist irrational.
Die Zahl - 5 liegt in und in .
Die Zahl - 5 kann nicht als periodische Dezimalzahl geschrieben werden.
Zusatzaufgabe
Erfindet selber ähnliche Aufgaben, die besonders knifflig sind und gebt eure Aufgaben der
Lehrperson!
Name:
Stationenbetrieb irrationale Zahlen