Präsentation

Irrationale Zahlen
2
Ist die Zahl a, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt: a² = a ∙ a = 2
Wir versuchen die Zahl durch Probieren zu finden.
Dazu grenzen wir die Zahl immer weiter ein.
Wir beginnen mit einer natürlichen Zahl, deren Quadrat gerade noch größer ist als 2
und suchen dann die Zahl, deren Quadrat gerade noch kleiner ist als 2.
Dann wissen wir, die gesuchte Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen 1 und 2.
Dann verfeinern wir die Suche, indem wir zwei Zahlen mit einer Nachkommastelle suchen,
deren Quadrat gerade noch größer bzw. kleiner ist als 2.
Dann verfeinern wir die Suche, indem wir zwei Zahlen mit zwei Nachkommastellen suchen,
deren Quadrat …………… usw.
1,4
1,4² = 1,96 < 2
1,5
1,5² = 2,25 > 2
1
2
1
1, 4 
2 2
2  1, 5
Irrationale Zahlen
Wir suchen die Lösung durch Probieren:
So kann man die Zahl
immer genauer bestimmen:
∙
a
=
2
1,5
∙
1,5
=
2,25
zu groß
1,4
∙
1,4
=
1,96
zu klein
1,45
∙
1,45
=
2,1025
zu groß
Dieses Verfahren, die gesuchte
1,44
Zahl immer weiter einzugrenzen,
nennt man Intervallschachtelung. 1,43
∙
1,44
=
2,0736
zu groß
∙
1,43
=
2,0449
zu groß
1,42
∙
1,42
=
2,0164
zu groß
1,41
∙
1,41
=
1,9881
zu klein
1,415
∙
1,415
=
2,002225
zu groß
1,414
∙
1,414
=
1,999396
zu klein
1. Intervall
1,4 < a < 1,5
2. Intervall 1,41 < a < 1,42
3. Intervall 1,414 < a < 1,415
Diese Intervallschachtelung führt
zu einer neuen Art von Zahlen,
den irrationalen Zahlen.
Sie sind nicht periodisch und
haben beliebig viele Stellen
hinter dem Komma.
a
Diese Versuche kann man unendlich weiterführen!
Irrationale Zahlen
Intervallschachtelung für a ∙ a = 2
1,4142< a < 1,4143 4. Intervall
3. Intervall 1,414 < a < 1,415
2. Intervall 1,41 < a < 1,42
1. Intervall
1,4 < a < 1,5
Würde man die Intervallschachtelung weiterführen käme man zu folgendem Zwischenergebnis:
1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 …………………………
Das Zwischenergebnis führt zu der Vermutung, dass sich die Ziffernfolgen hinter dem Komma
nicht periodisch wiederholen werden. Das bedeutet diese Zahl ist nicht als Bruch darstellbar.
Irrationale Zahlen
Irrationale Zahlen haben unendlich viele Stellen hinter dem Komma.
Anders als bei periodischen Dezimalzahlen (1/3 = 0,3333……) können irrationale Zahlen
nicht als Bruchzahl dargestellt werden, daher sind sie etwas Besonderes.
Zusammen mit den Rationalen Zahlen bilden sie die Menge der Reellen Zahlen.
Positive und negative ganze Zahlen
Reelle Zahlen R
Rationale Zahlen Q
Positive und negative Bruchzahlen Zahlen
Irrationale Zahlen
Versuche mit diesem Verfahren die Quadratwurzel aus 8 bis auf 6 Nachkommastellen
zu bestimmen. Die Excel-Tabelle hilft dir dabei.