Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten zu

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Übersicht über häufig benutzte Symbole und abkürzende Schreibweisen
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Mengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte
heißen die Elemente der Menge.
Beispiele:
Die Menge der Fische in einem bestimmten Aquarium. Jeder einzelne Fisch ist dann ein
Element der Menge der Fische in dem Aquarium.
Die Menge der natürlichen Zahlen 1,2, 3, ... . Jede einzelne der Zahlen ist ein Element der
Menge der natürlichen Zahlen.
Abkürzende Schreibweisen bei Mengen:
a∈M
a∉M
A⊆B
A⊃B
A=B
A∩B
A∪B
A \ B
a ist Element der Menge M.
a ist nicht Element der Menge M
A ist Teilmenge von B . Wenn a∈A , dann ist auch a∈B
a∈A ⇒ a∈B
A ist echte Obermenge von B (A enthält alle Elemente von B und Elemente, die nicht in B
enthalten sind.
Jedes Element der Menge A ist auch Element der Menge B und umgekehrt
a∈A ⇔a∈B
Die Schnittmenge. Sie enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
{ x | x∈A ∧ x∈B}
Die Vereinigungsmenge.Sie enthält alle Elemente sowohl aus A als auch aus B
{ x | x∈A ∨ x∈B}
Die Restmenge von A ohne B. Sie enthält alle Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind.
{ x I x∈A ∧¬ x∈B}
Angabe von Mengen:
Beim aufzählenden Verfahren erfolgt die Angabe einer Menge, indem die Namen der
Elemente aufgezählt und in geschweifte Klammern eingeschlossen werden.
{a1, a2, a3} = Menge mit den Elementen a 1, a2, a3.
Beim beschreibenden Verfahren erfolgt die Angabe einer Menge, indem eine Eigenschaft
vorgegeben wird und alle Elemente, welche die Eigenschaft haben, zu einer Menge
zusammengefaßt werden.
{xlx ist eine gerade Zahl} = Menge aller Zahlen x, für die gilt: x ist eine gerade Zahl
Bezeichnungen für besondere Mengen:
Ð, [Ð0]
9
Q
3
3+ [3+0]
∅, { }
$
|W
|L
Menge der natürlichen Zahlen [mit der Zahl 0].
Menge der ganzen Zahlen.
Menge der rationalen Zahlen (Brüche).
Menge der reellen Zahlen.
Menge der positiven reellen Zahlen [mit der Zahl 0].
leere Menge .
Definitionsmenge (Werte, die für eine Variable einsetzbar sind)
Wertemenge (Werte, die ein Term annehmen kann)
Lösungsmenge (Werte, die eine Aussage(Gleichung) zu einer wahren Aussagen machen)
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Intervalle und Umgebung:
[a;b]
]a;b]
]a;b[
]a-ε;a+ε[
= Uε(a)
abgeschlossenes Intervall mit den Grenzen a und b (a<b)
links offenes, rechts geschlossenes Intervall. Die linke Grenze a gehört nicht mehr zum
Intervall.
offenes Intervall mit den Grenzen a und b (a<b). Beide Grenzen a und b gehören nicht mehr
zum Intervall.
Umgebung der Zahl a mit dem Radius ε
Verbindung von Aussagen:
p⇒q
p⇔q
p∧ q
pvq
¬p
Folgerung: Wenn p richtig ist, dann ist auch auch q richtig (aus p folgt q)
Äquivalenz: Wenn p gilt, dann gilt auch q und umgekehrt.
(bei Gleichungen: p und q haben dieselbe Lösungsmenge)
UND p und (zugeich!) q sind wahr
ODER: p oder q (p,q oder beide) sind wahr
VERNEINUNG: nicht p (Gegenteil von p)
Größenbeziehungen:
a < b [a > b] a ist kleiner [größer] als b
a ≤ b [a ≥ b] a ist kleiner oder gleich [größer oder gleich ] b
a=b
a ist gleich b
Funktionen
f:x →f(x)=y
f(x)
y= f(x)
P(x / y)
Zuordnung insbesondere Funktion (eindeutige Zuordnung) der Elemente x einer ersten
Menge (Definitionsmenge) zu den Elementen y = f(x) einer zweiten Menge (Wertemenge).
steht dabei für den Funktionsterm, der die Zuordnung mathematisch beschreibt.
2
(z.B. f(x) = x )
2
ist die zugehörige Funktionsgleichung. (z. B. y = x )
Punkt in der Ebene mit den Koordinaten x und y (x-Wert auf der ersten (waagerechten)
Achse und y-Wert auf der zweiten (senkrechten) Achse).
Betrag
|a|
Betrag: Abstand der Zahl a zur Zahl 0
( =a, falls a>0, = -a, falls a<0)