K1 Grundlagen Theorie

1.
Grundlagen
Damit wir uns im Gebiet der Zahlen orientieren können, müssen wir uns einer gemeinsam festgelegten Sprache bedienen. In diesem ersten Kapitel erhalten Sie einen kurzen Abriss über die
gängigsten Begriffe und Definitionen, von denen wir ausgehen.
1.1
Allgemeines zu Mengen
Eine Menge ist die Zusammenfassung
von bestimmten unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen.
Beschreibung
von Mengen
Mengen können aus ganz unterschiedlichen Elementen bestehen (z.B. aus Menschen, Sachen,
Figuren etc.). Im Zusammenhang mit der Mathematik interessieren uns aber ganz besonders die
eigentlichen Zahlenmengen.
Mengen enthalten also Objekte, es sind die Elemente der Menge.
Mengen werden mit grossen lateinischen Buchstaben bezeichnet, z.B. A, B oder M.
Definierte Zahlenmengen werden mit einem Doppelstrich gekennzeichnet (vgl. Kapitel 1.2).
Mengen und ihre Elemente können auf verschiedene Weise beschrieben werden:
♦ aufzählende Form:
A = { 1, 2, 3, 4 }
♦ Form mit einer Formel: B = { x ∈ 4 | x > -2 }
gelesen als "x ist Element von 4
wobei gilt, x ist grösser als -2"
C = { x ∈ ²0 | x ∈ ²0 }
3
Elemente
D = alle ganzen Zahlen, die durch 5 teilbar sind
Ob ein Element Teil einer Menge ist, bezeichnen wir mit ∈ bzw. ∉.
A = { 1, 2, 3, 4 }
1 ist Element der Menge A.
♦ 1 ∈ A
5 ist kein Element der Menge A.
♦ 5 ∉ A
Teilmengen
♦ beschreibende Form:
Nimmt man nur einen Teil der Elemente und betrachtet sie als eigene Menge, spricht man
von einer Teilmenge. Teilmengen werden mit dem Zeichen ⊂ bezeichnet.
Alle Elemente von A sind auch Elemente von B.
♦ A ⊂ B
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Nicht alle Elemente von A sind zugleich auch
♦ A ⊄ C
C = { 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Elemente von C.
Mengen können miteinander verknüpft werden: bekannt sind Schnitt- und Vereinigungsmenge.
Verknüpfungen
von Mengen
A = { 1, 2, 3, 4 }
B = { 3, 4, 5, 6 }
A ∩ B (gelesen als "A geschnitten mit B")
♦ Schnittmenge:
Æ nur die Elemente, die beiden Mengen gemeinsam sind
hier: A ∩ B = { 3, 4 }
Als Mengenbeschreibung:
C = { x ∈ | x > -3 Λ x < 2 } → C = { -2, -1, 0, 1 }
C = alle ganzen Zahlen, die sowohl grösser als -3, als auch kleiner
als 2 sind
♦ Vereinigungsmenge: A U B (gelesen als "A vereinigt mit B")
Æ alle Elemente, die in A, in B oder in beiden vorkommen
hier: A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Spezielle
Mengen
Als Mengenbeschreibung:
D = { x ∈ | x < 2 v x > 7 } → D = { …, -1, 0, 1, 8, 9, …}
D = alle ganzen Zahlen, die entweder kleiner als 2 oder grösser
als 7 sind
Grundlagen
Als spezielle Mengen sind gebräuchlich:
G → Grundmenge
D → Definitionsmenge
L → Lösungsmenge
Eine weitere spezielle Menge ist die leere Menge, die Menge ohne Elemente, geschrieben
wird sie mit { }. Sie ist das Kennzeichen für keine Lösung.
1
1.2
Zahlenmengen
1.2.1 ²: die natürlichen Zahlen
Zahlen haben zuallererst etwas mit dem Zählen von Objekten zu tun, und dies tut man mit den
"normalen" Zahlen 1, 2, 3 etc.
Diese Zahlen heissen natürliche Zahlen und werden mit ² gekennzeichnet:
² = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich gross, d.h. zu jeder Zahl gibt es eine, die mindestens
um den Wert 1 grösser ist, zu der es natürlich wiederum mindestens eine um 1 grössere gibt etc.
² ist bezüglich den Operationen "+" und " • " abgeschlossen, d.h. eine Summe bzw. ein Produkt
zweier natürlicher Zahlen ergibt immer auch eine natürliche Zahl.
(Bezüglich den Operationen "-" und ":" ist ² nicht abgeschlossen.)
Ein Spezialfall im Zusammenhang mit den natürlichen Zahlen ist die Menge der natürlichen Zahlen
erweitert um die Zahl 0. Da man 0 beim Zählen nicht braucht (brauchen kann), gehört sie eigentlich
nicht zu den natürlichen Zahlen.
²0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
1.2.2 : die ganzen Zahlen
Da es Rechnungen gibt, die bei den natürlichen Zahlen keine Lösungen haben, mussten die
Zahlen erweitert werden. Subtraktionen können zu Resultaten kleiner 0 führen. Deshalb ergänzten
die Mathematiker die Zahlen ² mit allen negativen Zahlen (inkl. 0) und definierten diese als ganze
Zahlen, als Menge .
= { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Die Menge der ganzen Zahlen ist ebenfalls unendlich gross, sie besteht aber aus gleich vielen
positiven Zahlen wie die natürlichen Zahlen.
ist bezüglich der Operation "-" abgeschlossen, nicht aber bezüglich der Operation ":".
Als Teilmengen von kennen wir noch: +
-
+
und -
ist mit ² identisch
umfasst alle negativen ganzen Zahlen
Die ganzen Zahlen lassen sich graphisch als Zahlengerade darstellen.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Die Gerade geht auf beiden Seiten immer weiter. Die einzelnen Punkte sind die Elemente der
Menge . Genau genommen besteht die Menge also nicht aus der ganzen Zahlengeraden,
sondern nur aus den Punkten (bei den ganzen Zahlen).
Der Mittelpunkt dieser Zahlengerade ist der Punkt 0. Nach rechts werden die positiven, nach links
die negativen Zahlen aufgeführt.
Es gilt also: … -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 …
2
Grundlagen
1.2.3 4: die rationalen Zahlen
Weitere Zahlen sind notwendig, wenn jede Division auch ein genau bestimmtes Resultat haben
soll. Zu den ganzen Zahlen kommen nun noch die Brüche hinzu.
Diese Zahlenmenge, also alle ganzen Zahlen sowie zwischen den ganzen Zahlen noch alle
Brüche, nennt man rationale Zahlen und bezeichnet sie mit 4.
4 = { ..., -1, ..., -⅓, …, 0, ..., ¼, …, 1, ..., 1.6, ..., 2.11275, ... }
Da jede Division auch als Bruch geschrieben werden kann, sind die rationalen Zahlen auch
bezüglich der Operation ":" abgeschlossen.
Als Teilmengen von 4 kennen wir noch: 4
+
4
4
+
-
und Q
umfasst alle positiven rationalen Zahlen
umfasst alle negativen rationalen Zahlen
1.2.4 : die reellen Zahlen
Weitere Zahlen kommen hinzu, wenn wir die Wurzeln betrachten. Eine Wurzel stellt die Frage nach
der Zahl, die mit sich selber multipliziert, die ursprüngliche Zahl ergibt. Viele Wurzeln ergeben eine
natürliche (oder ganze) Zahl, z.B. 4 = 2. Noch mehr Wurzeln aber ergeben einen unendlichen
Dezimalbruch, d.h. es sind keine Brüche, wir können diese Zahlen nicht als Bruch mit einem Zähler
und einem Nenner schreiben, z.B. 2 = 1.41421... oder das Verhältnis vom Umfang eines Kreises
zu seinem Durchmesser π = 3.14159...
Diese quasi in sich schon unendlichen Zahlen heissen "irrationale Zahlen". Zusammen mit den
rationalen Zahlen 4 bilden sie die reellen Zahlen, die man als Menge bezeichnet.
= { ..., -1, ..., 0, ..., ⅜, ..., 1, ..., 1.102, ...,
2 , ..., 41 , ... }
1.2.5 : die komplexen Zahlen
2
2
Weitere Zahlen sind notwendig, wenn auch Gleichungen wie x = -1 bzw. i = -1 eine Lösung
haben sollen. x = − 1 kann in nicht berechnet werden, denn es gibt keine reelle Zahl, die mit
sich selber multipliziert, negativ wird. Die Lösung zu diesem Problem ist die "Erfindung" neuer
Zahlen, die imaginären Zahlen. Dabei gilt die Definition i = − 1 .
Die imaginären Zahlen bilden zusammen mit den reellen Zahlen die komplexen Zahlen, welche als
Menge bezeichnet werden.
In diesem Buch werden wir auf diese Zahlen nicht weiter eingehen.
1.2.6 Zusammenfassung
Alle vorgestellten Zahlenmengen lassen sich grafisch wie folgt aufzeichnen:
Schema:
mit Beispielzahlen ausgefüllt:
4
e
²
2
8i
2
3
1
3
3
1, 2
¾
-3 -7
7
-4.5i
Grundlagen
-1 ½
i
-0.95
5
2i
π
− 3
3
1.3
Zahlenintervalle notieren und visualisieren
Ein Zahlenintervall ist ein zusammenhängender, lückenloser Bereich von Zahlen.
Beschränktes Intervall
Der Zahlenbereich besitzt eine obere und untere Grenze.
– abgeschlossenes Intervall:
beide Grenzwerte (Startpunkte) gehören zum Intervall dazu
z.B. 1 ≤ x ≤ 5
nur einer der Grenzwerte gehört zum Intervall dazu
z.B. 1 ≤ x < 5 oder 1 < x ≤ 5
keiner der Grenzwerte gehört zum Intervall dazu
z.B. 1 < x < 5
– halb-offenes Intervall:
– offenes Intervall:
Unbeschränktes Intervall
Die untere oder obere Grenze fehlt. Das Intervall hat in einer Richtung kein Ende.
der eine Grenzwert gehört zum Intervall dazu:
z.B. x ≤ 5
der eine Grenzwert gehört nicht zum Intervall dazu: z.B. x < 5
– abgeschlossenes Intervall:
– offenes Intervall:
a)
Notieren von Intervallen (Intervall-Schreibweise mit speziellen Klammerformen)
Intervalle werden durch die Angabe ihrer Grenzwerte und das Verwenden von Klammern notiert.
Intervall-Schreibweise
Standard
Alternativ
(keine)
{x ∈ | a ≤ x ≤ b}
(a; b)
a; b
{x ∈ | a < x < b}
(a; b
a; b
{x ∈ | a < x ≤ b}
a; b
{x ∈ | a ≤ x < b}
a; b
a; b)
b)
Mengenschreibweise
(gleichbedeutend)
Darstellung von Intervallen auf der Zahlengeraden
Zahlenintervalle lassen sich sehr gut auf der Zahlengeraden veranschaulichen. Normalerweise
bewegen wir uns im Mathematikunterricht in der Menge der rationalen Zahlen (4) oder in der
Menge der reellen Zahlen (). Die Zahlengerade soll also 4 bzw. repräsentieren.
Bei der Darstellung von Intervallen auf der Zahlengeraden müssen wir unterscheiden, ob die
Grenzwerte (oder Startpunkte) zum Intervall dazu gehören oder nicht.
Dafür gibt es verschiedene Darstellungsweisen. Wir bestimmen hier folgende Konventionen:
Ohne Startpunkt:
bzw.
Mit Startpunkt:
bzw.
Beispiele (G = )
-2
-2
4
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
Beschränktes abgeschlossenes Intervall
Mengenschreibweise: { x ∈ | -1 ≤ x ≤ 3 }
Intervallschreibweise: [ -1 ; 3 ]
4
Unbeschränktes offenes Intervall
Mengenschreibweise: { x ∈ | x > -1 }
Intervallschreibweise: ( -1 ; ∞ )
Grundlagen
1.4
Der Betrag einer Zahl
Betrachtet man die Zahlenpunkte auf der Zahlengeraden sind sie entweder positiv oder negativ.
Betrachtet man aber den Abstand, den die einzelnen Punkte zum Nullpunkt (d.h. zur Zahl 0)
haben, so ist dieser bei jeweils zwei Punkten mit derselben Zahl gleich gross. 2 und -2 haben
beide den Abstand 2 vom Nullpunkt, 8 und -8 den Abstand 8.
-4
-3
-2
0
-1
Abstand: 2
1
2
3
4
Abstand: 2
Diesen Abstand nennt man den Betrag einer Zahl.
Den Betrag einer Zahl erhält man also durch das Vernachlässigen (Weglassen) des Vorzeichens.
Das bedeutet, dass der Betrag einer Zahl immer positiv ist.
Geschrieben wird der Betrag mit zwei senkrechten Strichen ( | ), je einen Strich vor und einen
Strich nach der Zahl.
Beispiele
a) | 6 |
=
6
b) | -3.4 |
=
3.4
Umgekehrt gilt:
1.5
c) | x | = 2
d.h. x = 2 oder x = −2
d) | x | = 8
d.h. x = 8 oder x = −8
Die Grundoperationen
Hier finden Sie die Begriffe im Zusammenhang mit den Grundoperationen.
Addition
7
+
Summand
Subtraktion
5
Division
3
-
•
Faktor
Faktor
Multiplikand
3
Basis
Grundlagen
2
:
2
=
Exponent
3
Differenz
=
6
Produkt
=
Divisor
2
9
Summe
Subtrahend
Dividend
Potenzieren
2
Multiplikator
8
=
Summand
Minuend
Multiplikation
2
4
Quotient
=
9
Potenzwert
5
1.6
Rechenhierarchie (1. Teil)1
Im Gegensatz zum Lesen, das von links nach rechts geschieht (zumindest in der westlichen Welt),
ist in der Mathematik die Reihenfolge der Operationen für korrekte Resultate hierarchisch festgelegt.
Es gilt folgende Reihenfolge der Operationen:
1. Ausdrücke in Klammern
Vereinfachte Merkregel:
(beginnend mit der innersten Klammer)
Klammern
( )
2. Punkt-Operationen ( •, : )
3. Strich-Operationen ( +, - )
vor
Punkt
• :
vor
Strich
+ -
4. von links nach rechts
Beispiele
a) 3 + 6 • 2
b) 3 • 6 + 2
c) 3 • ( 6 + 2 )
d) 12 - 6 : 2 • 3
e) 12 - 6 : ( 2 • 3 )
f)
( 12 - 6 ) : 2 • 3
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
3
+
6 • 2
3
+
12
3 • 6
+
2
18
+
2
3
•
(6 + 2)
3
•
8
12
-
6 : 2 • 3
12
-
3 • 3
12
-
9
12
-
6 : (2 • 3)
12
-
6 : 6
12
-
1
12 - 6
: 2 • 3
6
: 2 • 3
3 • 3
g) ( 12 - 6 ) : ( 2 • 3 )
1
6
⇒
12 - 6
:
(2 • 3)
6
:
6
=
15
=
20
=
24
=
3
=
11
=
9
=
1
Rechenhierarchie (2. Teil) siehe Kapitel 8.7
Grundlagen