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Nullstellen von Polynomen
Peter Lesky
Mathematik-Tag
8. Oktober 2011
Tafelaufschrieb 1
2
Abbildungen
Zum Beispiel f (x) = x2:
Abbildung als Rechenmaschine: Stecke x rein, bekomme x2 raus:
1
2
1, 5
−1
7 →
−
7−→
7−→
7−→
1
4
2, 25
1
Abbildung allgemein: f : R → R : x 7→ f (x)
3
Veranschaulichung einer Abbildung
Unser Beispiel f (x) = x2:
Zeichne (alle?) Paare (x, x2)
Der Graph einer Abbildung f : R → R:
G =
n
o
(x, y) : x ∈ R ∧ y = f (x)
Kurz: y = f (x)
4
Veranschaulichung einer Abbildung
Unser Beispiel f (x) = x2:
Zeichne (alle?) Paare (x, x2)
Der Graph einer Abbildung f : R → R:
G =
n
o
(x, y) : x ∈ R ∧ y = f (x)
Kurz: y = f (x)
5
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 0:
P (x) = c
6
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 1:
P (x) = mx + b
7
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 2:
P (x) = x2 + b
8
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 2:
P (x) = (x − a)2
9
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 2:
P (x) = (x − a)2 − b
10
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 3:
P (x) = (x − a)3
11
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 3:
P (x) = x(x2 − 3)
12
Was sind Polynome?
Ein Polynom ist eine Abbildung P : R → R der Form
P (x) = a + b x + c x2 + . . . + . . . xn = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn
Falls an 6= 0 heißt n der Grad des Polynoms: n = Grad(P )
Grad(P ) = 7:
P (x) = x(x2 − 0, 6)(x2 − 2)(x2 − 3)
13
Nullstellen
Definition: Eine Nullstelle eines Polynoms P ist eine Zahl x, so dass
P (x) = 0 gilt.
Nullstelle von P (x) = (x − a)2 − b:
√
b
√
⇔ x=a± b
(x − a)2 = b ⇔ x − a = ±
Hinweis: a0 + a1 x + a2 x2 = 0 ⇔ aa0 + aa1 x + x2 = 0
2
2
14
Nullstellen
Definition: Eine Nullstelle eines Polynoms P ist eine Zahl x, so dass
P (x) = 0 gilt.
Einfach ist es, ein Polynom aus den Nullstellen zu berechnen:
P (x) = (x − 1)(x + 2)(x − 3)(x − 5)
hat genau die Nullstellen x1 = 1, x2 = −2, x3 = 3, x4 = 5
Oft schwierig: Welche Nullstellen hat das Poynom
P (x) = x4 − 7x3 + 5x2 + 31x − 30
15
Nullstellen um 1500
Gesucht ist eine Zahl, die addiert zu ihrer Kubikwurzel 6 ergibt.
Heutige Schreibweise:
x +
√
3 x = 6
Setze x = u3 : u3 + u
Um 1500: Typ A:
Typ B:
x3 + x = 6
x3 = x + 6
= 6 ⇔ u3 + u − 6 = 0
→ Lösungsformel A
→ Lösungsformel B
Heute: x3 + x − 6 = 0
x3 − x − 6 = 0
16
Der Wettstreit von Venedig
Scipione
del Ferro
1465 – 1526
Antonio Maria
Fior
1506 – ??
Nicolo Fontana
(Tartaglia)
1499 – 1557
Girolamo Cardano
1501 – 1576
17
Polynome vom Grad 2
Beispiel P (x) = x2 + 6 x + 7 = x2 + 2 · 3 x +9+7−9 = (x + 3)2 − 2
√
2
Nullstellen: (x + 3) = 2 ⇔ x + 3 = ±√ 2
⇔ x = −3 ± 2
2
2
p
p
2
2
Allgemein: x + px + q = 0 ⇔ x + 2 2 x + 2 + q = 2p
2
p 2
⇔ x + 2 = 2p − q
r p 2
p
⇔ x+2 =± 2 −q
r p 2
⇔ x = − 2p ±
−q
2
18
Polynome vom Grad 3
Gesucht sind die Lösungen von x3 = 15x + 30
Anschaulich:
Umformen zu
3
x
| −
{z15x} = 30
P (x)
Skizziere das Polynom
P (x) = x(x2 − 15)
Schneide mit der Geraden
y = 30
19
Tafelaufschrieb 2 (Lösung von x3 = 15x + 30)
20
Tafelaufschrieb 3 (Fortsetzung x3 = 15x + 30)
21
Polynome vom Grad 3
Bombelli 1572: Gesucht sind die Lösungen von x3 = 15x + 4
Anschaulich:
Umformen zu
3
x
| −
{z15x} = 4
P (x)
Skizziere das Polynom
P (x) = x(x2 − 15)
Schneide mit der Geraden
y=4
22
Polynome vom Grad 3
Bombelli 1572: Gesucht sind die Lösungen von x3 = 15x + 4
Aus den Formeln:
q
q
q
q
√
√
√
√
3
3
3
3
2 + −121 + 2 − −121 =
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1
x =
Also hoffentlich
Genauso:

√
√
3

2
+
11
−1
=
2
+
−1
q
⇒ x=4
√
√
3

2 − 11 −1 = 2 − −1
q
Zur Probe x = 4 einsetzen:
43
= 64
15 · 4 + 4 = 64
)
stimmt überein
C.F. Gauß um 1800: Komplexe Zahlen sind Zahlenpaare
√
(a, b) = a + b −1 = a + bi
23
Tafelaufschrieb 4
24
Polynome vom Grad 3
Bombelli 1572: Gesucht sind die Lösungen von x3 = 15x + 4
Aus den Formeln:
q
q
q
q
√
√
√
√
3
3
3
3
2 + −121 + 2 − −121 =
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1
x =
Also hoffentlich
Genauso:

√
√
3

2
+
11
−1
=
2
+
−1
q
⇒ x=4
√
√
3

2 − 11 −1 = 2 − −1
q
Zur Probe x = 4 einsetzen:
43
= 64
15 · 4 + 4 = 64
)
stimmt überein
C.F. Gauß um 1800: Komplexe Zahlen sind Zahlenpaare
√
(a, b) = a + b −1 = a + bi
25
Der Fundamentalsatz
Zu jedem Polynom P (x) = xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 gibt es komplexe
Zahlen x1, . . . , xn, so dass
P (x) = (x − x1)(x − x2) · · · (x − xn)
Offensichtlich sind x1, . . . , xn genau die Nullstellen von P .
Beispiele n = 2: P (x)
P (x)
P (x)
P (x)
P (x)
=
=
=
=
=
x2
x2 − 4
x2 − 4x − 1
x2 + 4
x2 + 2x + 5
=
=
=
=
=
(x − 0)(x − 0)
(x
2)
− 2)(x +
√ √ x − (2 + 5) x − (2 − 5)
(x
− 2i)(x + 2i)
x − (−1 + 2i) x − (−1 − 2i)
Achtung:
Die letzten beiden Polynome haben in der Schule keine Nullstellen.
26
Lösungsformel n = 2
x2 + px + q = 0 :
p
x = − ±
2
s
2
p
2
−q
27
Lösungsformel n = 3
x3 + ax + b = 0 :
x =
v
u
u
3
t
b
− +
2
s
2
b
2
+
3
a
2
+
v
u
u
3
t
b
− −
2
s
2
b
2
+
3
a
2
28
Lösungsformel n = 4
x4 + ax2 + bx + c = 0 :
Bestimme die Lösungen z1, z2, z3 der Resolventengleichung
z 3 + 2az 2 + (a2 − 4c)z − b2 = 0.
Die Lösungen erhält man dann durch
x1 =
x2 =
√
√
z1 +
z1 −
√
x3 = − z 1 +
√
x4 = − z 1 −
√
z2
√
z2
√
z2
√
z2
−
+
+
−
√
z3
√
z3
√
z3
√
z3
29
Lösungsformel n ≥ 5
E. Galois 1831:
Es gibt keine Lösungsformel, die auf jede Gleichung anwendbar ist
30