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Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
Arbeitsblatt 8
2. Semester
ARBEITSBLATT 8
DIE REELLEN ZAHLEN
Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche:
N = Natürliche Zahlen
Z = Ganze Zahlen
Q = Rationale Zahlen
Bei manchen Rechnungen kommt man jedoch auch mit den rationalen Zahlen nicht aus. Wir versuchen zum Beispiel folgende Gleichung zu lösen:
x2 = 3 .
Damit wir x berechnen können, ziehen wir auf beiden Seiten der
Gleichung die Quadratwurzel:
x2 = 3
Hinter dem Rechenausdruck x 2 steht folgende Rechenanweisung: Suche einen Ausdruck, der mit sich selbst multipliziert x 2 ergibt. Die Lösung ist natürlich x. Wenn wir also 3 wissen wollen,
suchen wir eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert 3 ergibt. Diesen Wert tippen wir mit dem Taschenrechner aus. Wir erhalten also:
x = 1,732508......
Das interessante an dieser Dezimalzahl ist, daß Sie unendlich lang ist und niemals periodisch wird. Solche Zahlen lassen sich nicht als Bruch darstellen, sind
folglich also keine rationalen Zahlen. Man nennt diese Zahlen „irrationale Zahlen.
Definition: Unendlich lange, nicht periodische Zahlen nennt man irrationale
Zahlen.
Beispiele für solche irrationalen Zahlen:
• Alle
Quadratwurzeln von nicht-quadratischen Zahlen (z.B.
2; 3; 5; 6; u. s. w. )
• Die Zahl π = 3,1415926... (sprich: „Pi“): Diese Zahl ist uns bereits von
den Kreisberechnungen bekannt.
• Die Zahl e = 2,7182818.... (sprich: „e“): Dies ist die sogenannte „Eulersche Zahl“. Sie wird später unter anderem bei sämtlichen Wachstums- oder Zerfallsaufgaben (z.B. radioaktiver Zerfall) von Bedeutung
sein.
Beweis, dass 2 eine irrationale Zahl ist:
Annahme: 2 ist eine rationale Zahl.
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Unter dieser Annahme kann ich
2. Semester
2 also in Form eines gekürzten Bruchs
m
darstellen. Dabei sind m und n ganze Zahlen ≠ 0 und n sicher nicht 1,
n
da sonst 2 eine natürliche Zahl sein müsste.
m
nicht kürzen kann nun n ungleich 1 ist, dann kann man
Wenn man
n
m⋅m
sicher auch nicht
kürzen und n 2 muss ungleich 1 sein. Daher kann
n⋅n
m2
keine ganze Zahl sein.
n2
( )
2
Da aber 2 = 2 eine ganze Zahl ist liegt ein Widerspruch vor, folglich
kann 2 keine rationale Zahl sein.
Alle rationalen und irrationalen Zahlen zusammen nennt man die reellen Zahlen, abgekürzt mit dem Buchstaben ℜ .
Definition. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den Mengen der rationalen und irrationalen Zahlen.
Folgerungen: Wir können irrationale Zahlen niemals wirklich ganz exakt berechnen, sondern nur beliebig genau. Dies bedeutet, dass ich bei gegebenem Kreisradius den Umfang des Kreises zwar beliebig genau berechnen
kann, aber eben unmöglich ganz exakt.
Für uns gilt: Wir rechnen immer auf zwei Dezimalstellen genau.
Übungen: Übungsblatt 8; Aufgaben 91 - 94
Nun noch einige Definitionen und Überlegungen zum Wurzelziehen:
Wurzelzeichen
Radikand
Definition: x = a
sprich: x ist die Quadratwurzel (kurz: Wurzel) aus a.
Die Bedeutung der Quadratwurzel haben wir uns bereits überlegt. Noch einmal: 9 bedeutet, dass wir eine Zahl suchen, die mit sich selbst multipliziert 9
ergibt. Folglich ist 9 = 3 da 3 ⋅ 3 = 9 . Dies bedeutet aber, dass Wurzelziehen
und Potenzieren einander entgegengesetzte Rechenoperationen sind.
Satz: Wurzelziehen und Potenzieren sind einander entgegengesetzte Rechenoperationen.
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Dies bedeutet, dass sich die Quadratwurzel und der Exponent 2 gegenseitig
aufheben.
( 5)
Beispiel:
2
=5
62 = 6
Übung: Übungsblatt 8; Aufgabe 95
Mit einem Problem müssen wir uns noch befassen. Was erhalten wir, wenn wir
die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen wollen?
Beispiel:
−4 =
Lösung: Wir suchen also eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert -4 ergibt. Man
würde wahrscheinlich zur Lösung 2 tendieren, aber 2 ⋅ 2 = 4 und nicht
-4. Folglich ist 2 keine Lösung. Versuchen wir also -2 als Lösung, aber
(− 2) ⋅ (− 2) = 4 . Also ist auch -2 keine Lösung. Es gibt also keine reelle Lösung für diese Wurzel. Wir sagen − 4 ist nicht definiert.
Das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist für uns also folglich nicht sinnvoll.
Satz: Aus einer negativen Zahl kann in R keine Quadratwurzel gezogen werden.
Andererseits bekommen wir aber folgende Tatsache, wenn wir die Wurzel aus
einer positiven Zahl ziehen wollen:
Beispiel:
4=
Lösung: 2 ist eine Lösung, da 2 ⋅ 2 = 4 . Wir probieren aber jetzt auch -2 aus.
(− 2) ⋅ (− 2) = 4 . Folglich ist auch -2 eine Lösung. Wir erhalten also gleich
zwei Lösungen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden:
4 = ±2 .
Satz: Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl ist doppeldeutig. Man erhält
stets Zahl und Gegenzahl als Lösungen.
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Rechnen mit Wurzeln
a) Multiplikation:
Beispiel:
fassen?
3 ⋅ 5 = Können wir die beiden Wurzeln unter eine Wurzel zusammen-
Lösung: Wir überlegen uns dies zunächst allgemein:
Annahme: a ⋅ b = a ⋅ b a, b ≥ 0
Beweis:
Rechnung
Anmerkungen
Wir quadrieren beide Seiten der
Gleichung.
Für die linke Seite der Gleichung
kennen wir vom Rechnen mit
Potenzen (a ⋅ b )2 = a 2 ⋅ b 2 . Für die
rechte Seite wissen wir, dass sich
die Wurzel und das Quadrat gegenseitig aufheben.
Nun heben sich auch bei den
beiden Ausdrücken auf der linken Gleichungsseite Wurzel und
Quadrat gegenseitig auf und wir
erhalten.
Da dies offensichtlich eine wahre
Aussage ist, stimmt also unser
obiger Satz.
a ⋅ b = a⋅b
(
a⋅ b
) =(
2
( a) ⋅( b)
2
2
a⋅b
)
2
= a⋅b
a⋅b = a⋅b
Satz:
a ⋅ b = a ⋅ b a, b ≥ 0
Für unser Beispiel gilt also:
3 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5 = 15
Übung: Übungsblatt 8; Aufgabe 96
Natürlich gilt auch der umgekehrte Weg:
Beispiel: 5 ⋅ 3 = 5 ⋅ 3
Übungen: Übungsblatt 8; Aufgaben 97 - 98
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b) Division:
Beispiel:
6
3
= Kann man nun die beiden Wurzeln unter eine zusammenfas-
sen?
Lösung: Wir rechnen zunächst wieder allgemein:
a
Annahme:
b
=
a
b
Beweis:
Rechnung
a
b
a
b
=
2
⎛ a⎞
⎛
⎞
⎜
⎟ =⎜ a ⎟
⎜ b⎟
⎜ b⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
( a)
( b)
2
2
Anmerkungen
Wir quadrieren wieder
Gleichungsseiten.
=
Für die linke Gleichungsseite gilt
wieder vom Rechnen mit Poten-
2
⎛a⎞
⎝b⎠
2
zen: ⎜ ⎟ =
a2
. Auf der rechten
b2
Seite heben sich Potenzieren und
Wurzelziehen wieder auf.
Auf der linken Gleichungsseite
heben sich im Zähler und Nenner
potenzieren und Wurzelziehen
wieder auf.
Damit haben wir unsere Behauptung wieder bewiesen.
a
b
a a
=
b b
Satz:
beide
a
a
=
a ≥ 0;b > 0
b
b
Für unser Beispiel gilt also:
6
3
=
6
= 2
3
Auch der umgekehrte Weg gilt natürlich:
Beispiel:
4
4
2 1
=
= =
36
36 6 3
Übungen: Übungsblatt 8; Aufgabe 99
Mittels dieser Rechengesetze lassen sich aus Termen auch teilweise Wurzeln
ziehen:
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Beispiel:
45 = 9 ⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5
Beispiel:
7x 2 = 7 ⋅ x 2 = 7 ⋅ x
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Übungen: Übungsblatt 8; Aufgaben 100 - 104
c) Addieren und Subtrahieren
Beispiel: 5 + 3 = Kann man die beiden Wurzeln wieder unter eine Wurzel zusammenfassen?
Lösung: Wir überlegen uns das ganze wieder allgemein:
Annahme: a + b = a + b
Beweis:
Rechnung
Anmerkungen
Wir quadrieren beide Seiten der
Gleichung.
Auf der linken Gleichungsseite
liegt eine binomische Formel vor.
Rechts heben sich potenzieren
und Wurzelziehen auf.
Wir vereinfachen die linke Seite.
a + b = a+b
(
a+ b
( a)
2
) =(
2
a+b
+ 2⋅ a ⋅ b +
)
2
( b)
2
=a+b
a + 2 ⋅ ab + b = a + b
/− a − b
2 ⋅ ab = 0
Dies ist aber im Allgemeinen
falsch (Ausnahme: a oder b =0).
Wurzeln, die durch + oder - getrennt sind, lassen sich nicht zusammenfassen,
bzw. trennen.
Merke:
a ± b ≠ a±b
Kubikwurzel
Beispiel: Ein Würfel habe ein Volumen von 8 cm3. Wie lang ist seine Seitenkante a?
Lösung: Für den Würfel gilt: V = a 3 . Wir setzen in die Formel ein:
a3 = 8
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Wir suchen also eine Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt.
Dies ist natürlich 2, da 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 . Mathematisch nennt man dies als die
„dritte Wurzel“ oder Kubikwurzel. Man schreibt dies folgendermaßen:
a=3 8
a=2
Übung: Übungsblatt 8; Aufgabe 105
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