Blatt 1

Freitag, 21. Oktober 2016
Algebra (für LA Gym.)
— Blatt 1 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 1
Sei G eine Halbgruppe. Ein Element e heißt linksneutral, wenn eg = g für alle g ∈ G gilt, und rechtsneutral, wenn ge = g für alle g ∈ G erfüllt ist. Seien nun e ∈ G linksneutral und g, h ∈ G zwei beliebige
Elemente aus G. Wir bezeichnen h als Linksinverses von g bezüglich e, wenn hg = e gilt, und entsprechend als Rechtsinverses, wenn gh = e erfüllt ist.
(a) Zeigen Sie: Besitzt G ein linksneutrales Element e und hat jedes g ∈ G bezüglich e ein Linksinverses
h in G, dann ist h zugleich ein Rechtsinverses von g bezüglich e.
Hinweis: Verwenden Sie, dass jedes Element von G ein Linksinverses besitzt.
(b) Weisen Sie nach, dass e unter den Voraussetzungen von Teil (a) ein Neutralelement in G (und G
somit eine Gruppe) ist.
Aufgabe 2
Eine natürliche Zahl heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Zahlen m, n ∈ N und wird mit
kgV(m, n) notiert, wenn sie ein gemeinsames Vielfaches von m und n ist und für alle d ∈ N die Implikation
m | d und n | d
⇒
kgV(m, n) | d erfüllt ist.
(Dabei ist m | d eine Kurzschreibweise für m teilt d“.)
”
(a) Zeigen Sie, dass N mit der Verknüpfung m ∗ n = kgV(m, n) zu einem Monoid wird.
Hinweis für das Assoziativgesetz:
Zwei natürliche Zahlen p, q sind genau dann gleich, wenn p | q und q | p gilt.
(b) Bestimmen Sie die invertierbaren Elemente dieses Monoids.
(c) Für jedes ` ∈ N sei T (`) die Menge der Teiler von `. Zeigen Sie, dass T (`) ⊆ N unter der Verknüpfung ∗ abgeschlossen ist, und dass man durch Einschränkung von ∗ auf T (`) × T (`) wiederum
ein Monoid enthält.
Aufgabe 3
Sei G eine Gruppe, M ein Monoid, und seien µ : G → M und ν : M → G Monoidhomomorphismen.
(a) Zeigen Sie, dass µ(G) ⊆ M (mit der entsprechend eingeschränkten Verknüpfung) eine Gruppe ist.
(b) Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass ν −1 (G) ⊆ M im Allgemeinen keine Gruppe ist.
(c) Wir setzen nun unter (b) zusätzlich voraus, dass ν bijektiv ist.
Ist ν −1 (G) in diesem Fall immer eine Gruppe?
Dieses Blatt wird vom 24. bis zum 28. Oktober im Tutorium bearbeitet.
Algebra (für LA Gym.)
— Blatt 1 —
(Globalübungsblatt)
Aufgabe 1
(3+4+3 Punkte)
Sei G eine Halbgruppe. Ein Element z ∈ G heisst absorbierend, wenn gz = zg = z für alle g ∈ G gilt.
(a) Beweisen Sie, dass G höchstens ein absorbierendes Element besitzt.
(b) Zeigen Sie: Ist G eine Gruppe, in der ein absorbierendes Element z existiert, dann folgt G = {z}.
(c) Geben Sie ein konkretes Beispiel für ein Monoid an, das ein absorbierendes Element besitzt und
insgesamt aus mehr als einem Element besteht.
Aufgabe 2
(4+2+4 Punkte)
Wir verwenden dieselben Bezeichnungen wie in Tutoriumsaufgabe 2.
(a) Wir betrachten die folgenden Abbildungen in Tabellenschreibweise.
!
!
1 2 3 4 6 12
1 2 3 4 6 12
1
,
,
12 6 4 3 2 1
1 1 1 1 1 1
1
2
3
4
6
!
12
3
2
4
6
12
Welche davon sind Monoidhomomorphismen T (12) → T (12)?
(b) Sei P ⊆ N die Menge der Primzahlen und P(P ) die Potenzmenge von P .
Zeigen Sie, dass (P(P ), ∪) ein Monoid ist.
(c) Sei ∗ auf N wie in der Tutoriumsaufgabe definiert und φ : N → P(P ) die Abbildung, die jede Zahl n
auf die Menge ihrer Primteiler abbildet. Weisen Sie nach, dass durch φ ein Monoidhomomorphismus
zwischen (N, ∗) und (P(P ), ∪) definiert ist.
Aufgabe 3
(3+3+2+2 Punkte)
Seien X, Y Mengen und φ : X → Y eine Abbildung. Sind die folgenden Abbildungen ψ : G → H
Monoid- oder zumindest Halbgruppen-Homomorphismen zwischen den angegebenen Monoiden G und
H? Beweisen Sie dies jeweils, oder widerlegen Sie es durch Angabe eines geeigneten Gegenbeispiels.
(a) G = (P(X), ∪), H = (P(Y ), ∪), ψ(A) = φ(A)
(b) G = (P(X), ∩), H = (P(Y ), ∩), ψ(A) = φ(A)
(c) G = (P(Y ), ∪), H = (P(X), ∪), ψ(B) = φ−1 (B)
(d) G = (P(Y ), ∩), H = (P(X), ∩), ψ(B) = φ−1 (B)
Abgabe: Dienstag, 8. November, 12:15 Uhr im Übungskasten
Pro Abgabe sind zwei Personen zugelassen. Bitte geben Sie vorn auf dem Blatt immer die Nummer Ihrer
Übungsgruppe an!